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【题目】1)如图①,四边形为正方形,点分别在上,且,求证:

2)如图②,在四边形中,,点分别在上,且.猜想之间的数量关系,并证明你的猜想;

3)如图③,在四边形中,互补,点分别在上,且,请直接写出之间的数量关系.

【答案】1)见解析;(2,详见解析;(3,详见解析

【解析】

1)延长至点G,使AG=CF,根据正方形的性质证明△ADG≌△CDF,得到∠ADG=CDFDG=DF,再证明△DEG≌△DEF,即可得到结论;

2)延长BC至点H,使CH=AE,连接DH,同(1)的方法证明即可得到结论;

3,延长BC至点M,使CM=AE,连接DM,同上的证明方法即可得到结论.

1)如图,延长至点G,使AG=CF,连接DG

∵四边形为正方形,

AD=CD,∠BAD=ADC=C=90°

∴△ADG≌△CDF

∴∠ADG=CDFDG=DF

,

∴∠ADG+CDF=ADE+CDF=45°

DE=DE

∴△DEG≌△DEF

EF=GE=AG+AE=CF+AE

2AE+CF=EF

延长BC至点H,使CH=AE,连接DH

∵∠A=BCD=90°

∴∠A=DCH=90°

AD=CDAE=CH

∴△ADE≌△CDH

DE=DH,∠ADE=CDH

∵∠ADC=120°

∴∠EDH=120°

∵∠EDF=60°

∴∠HDF=EDF=60°

又∵CD=CD

∴△EDF≌△HDF

EF=HF=CF+CH=AE+CF

3

延长BC至点M,使CM=AE,连接DM

∵∠DAB与∠BCD互补,

∴∠DAB+BCD==180°

∴∠DAB=DCM

AD=CDAE=CM

∴△ADE≌△CDM

DE=DM,∠ADE=CDM

,,

∴∠MDF=,

又∵DF=DF

∴△EDF≌△MDF

EF=MF=CM+CF=AE+CF.

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