Question

如图，一次函数y=﹣x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x²+bx+c过A、B两点．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

Answer 1

              解：（1）∵y=﹣+2分别交y轴、x轴于A、B两点，

∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0），

将x=0，y=2代入y=﹣x²+bx+c得c=2

将x=4，y=0代入y=﹣x²+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=，

∴抛物线解析式为：y=﹣x²+x+2，

（2）如图1，设MN交x轴于点E，

则E（t，0），BE=4﹣t．

∵tan∠ABO===，

∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．

又N点在抛物线上，且x_N=t，∴y_N=﹣t²+t+2，

∴MN=y_N﹣ME=﹣t²+t+2﹣（2﹣t）=﹣t²+4t

∴当t=2时，MN有最大值4，

（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．

以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，

如图2所示．

（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）

由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a₁=6，a₂=﹣2

从而D为（0，6）或D（0，﹣2），

（ii）当D不在y轴上时，由图可知D₃为D₁N与D₂M的交点，

易得D₁N的方程为y=﹣x+6，D₂M的方程为y=x﹣2，

由两方程联立解得D为（4，4）

故所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）