Question

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，BC为边，在△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连结BE，AF．   
①求证：BE=AF；   
②∠BOF=

 

°，说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：①利用等边三角形的性质得到相等的边和角，CE=AC，CF=CB，∠ACF=∠ECB=90°+60°=150°，从而判定△CEB≌△ACF得到BE=AF．
②首先通过△CEB≌△CAF得到∠AFC=∠EBC，再根据三角形的内角等于与它不相邻的两个外角的和可得∠AOB=∠AFB+∠FBE=∠AFB+∠CBF+∠EBC，再利用等量代换用∠AFC换∠EBC可得到∠AOB=∠CBF+∠CFB=120°，再用180°-∠AOB即可．

解答：证明①∵△ACE和△BCF是等边三角形，
∴∠ACE=∠FCB=∠CBF=60°，CE=AC，CF=CB，
∴∠ACF=∠ECB=60°+∠ACB．
在△CEB与△CAF中，

CE=CA ∠ECB=∠ACF CB=CF

，
∴△CEB≌△CAF（SAS），
∴BE=AF，
②∵△CEB≌△CAF
∴∠AFC=∠EBC，
∵∠AOB=∠AFB+∠FBE，
∴∠AOB=∠AFB+∠CBF+∠EBC=∠AFB+∠CBF+∠AFC=∠CBF+∠CFB=60°+60°=120°，
∴∠BOF=180°-∠AOB=60°．
故答案为：60°．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明∠AFC=∠EBC，找到∠AOB=∠AFB+∠FBE；