Question

【题目】如图，在中，，，．动点、分别从点、点同时出发，相向而行，速度都为．以为一边向上作正方形，过点作，交于点．设运动时间为，单位：，正方形和梯形重合部分的面积为．

当时，点与点重合．

当时，点在上．

当点在，两点之间（不包括，两点）时，求与之间的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）当点在，两点之间（不包括，两点）时，与之间的函数关系式为：．

【解析】

（1）当点P与点Q重合时，此时AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，由此列一元一次方程求出t的值；

（2）当点D在QF上时，如图1所示，此时AP=BQ=t．由相似三角形比例线段关系可得PQ=t，从而由关系式AP+PQ+BQ=AB=2，列一元一次方程求出t的值；

（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，运动过程可以划分为两个阶段：

①当1＜t≤时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出S；

②当＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．面积S由关系式“S=S正方形APDE﹣S△AQF﹣S△DMN”求出．

（1）当点P与点Q重合时，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，∴t+t=2，解得：t=1s．

故答案：1．

（2）当点D在QF上时，如图1所示，此时AP=BQ=t．

∵QF∥BC，APDE为正方形，∴△PQD∽△ABC，∴DP：PQ=AC：AB=2，则PQ=DP=AP=t．

由AP+PQ+BQ=AB=2，得：t+t+t=2，解得：t=．

故答案：．

（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；

当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ=t，BP=t，求得t=s，进一步分析可知此时点E与点F重合；

当点P到达B点时，此时t=2．

因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程可分析如下：

①当1＜t≤时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．

此时AP=BQ=t，∴AQ=2﹣t，PQ=AP﹣AQ=2t﹣2；

易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG，∴EF=AF﹣AE=2（2﹣t）﹣t=4﹣3t，EG=EF=2﹣t，∴DG=DE﹣EG=t﹣（2﹣t）=t﹣2．

S=S梯形PDGQ=（PQ+DG）PD=[（2t﹣2）+（t﹣2）]t=t2﹣2t；

②当＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．

此时AP=BQ=t，∴AQ=PB=2﹣t，易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，∴AF=4﹣2t，PM=4﹣2t．

又∵DM=DP﹣PM=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4，∴DN=（3t﹣4）=t﹣2，DM=3t﹣4．

S=S正方形APDE﹣S△AQF﹣S△DMN=AP2﹣AQAF﹣DNDM

=t2﹣（2﹣t）（4﹣2t）﹣×（3t﹣4）×（3t﹣4）

=﹣t2+10t﹣8．

综上所述：当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：S=．