Question

5．阅读下列材料：某农民家里有一块四边形的土地要均分给两个儿子，采用的方法如下：连接AC，取AC的中点E，连接DE、BE，△AED，△ECD的等底等高，故面积也相等，同样，试△AEB、△ECB的面积也相等，把四边形ABED分给其中的一个儿子，余下的分给另一个儿子．（注：△是指三角形）

应用：在四边形ABCD中，点E，F，G，H，分别是AB，BC，CD，DE的中点．EG与FH相交于O点．
（1）若四边形AEOH、BEOF、CFOG的面积为15，17，16，则四边形DGOH的面积是14；
（2）若四边形AEOH、BEOF、CFOG、DGOH的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，直接写出S₁、S₂、S₃、S₄S₁+S₃=S₂+S₄．

Answer 1

分析 由阅读材料可知：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．条件中出现了线段的中点，问题中涉及到面积，由此联想到“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”，故而连接OA、OB、OC、OD，即可得到S_△AOE=S_△BOE，S_△BOF=S_△COF，S_△COG=S_△DOG，S_△DOH=S_△AOH．
（1）由题可得S_△AOE+S_△AOH=15①，S_△BOE+S_△BOF=17②，S_△COF+S_△COG=16③，只需将①+③-②，就可解决问题；
（2）由题可得S_△AOE+S_△AOH=S₁，S_△BOE+S_△BOF=S₂，S_△COF+S_△COG=S₃，S_△DOG+S_△DOH=S₄，而S₁+S₃=S_△AOE+S_△AOH+S_△COF+S_△COG，S₂+S₄=S_△BOE+S_△BOF+S_△DOG+S_△DOH，即可得到S₁+S₃=S₂+S₄．

解答 解：（1）连接OA、OB、OC、OD，如图1，

∵点E，F，G，H，分别是AB，BC，CD，DE的中点，
∴S_△AOE=S_△BOE，S_△BOF=S_△COF，S_△COG=S_△DOG，S_△DOH=S_△AOH，
∵S_△AOE+S_△AOH=15①，S_△BOE+S_△BOF=17②，S_△COF+S_△COG=16③，
∴由①+③-②得S_△AOH+S_△COG=15+16-17=14，
∴S_{四边形DGOH}=S_△DOH+S_△DOG=S_△AOH+S_△COG=14．
故答案为14；

（2）连接OA、OB、OC、OD，如图2，

∵点E，F，G，H，分别是AB，BC，CD，DE的中点，
∴S_△AOE=S_△BOE，S_△BOF=S_△COF，S_△COG=S_△DOG，S_△DOH=S_△AOH．
∵S_△AOE+S_△AOH=S₁，S_△BOE+S_△BOF=S₂，S_△COF+S_△COG=S₃，S_△DOG+S_△DOH=S₄，
∴S₁+S₃=S_△AOE+S_△AOH+S_△COF+S_△COG，S₂+S₄=S_△BOE+S_△BOF+S_△DOG+S_△DOH，
∴S₁+S₃=S₂+S₄．
故答案为S₁+S₃=S₂+S₄．

点评 本题主要考查了“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”的应用，由线段的中点联想到三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解决本题的关键．