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【题目】1)如图1,在矩形ABCD中,对角线ACBD相交于点O,过点O作直线EFBD,且交AD于点E,交BC于点F,连接BEDF,且BE平分∠ABD

①求证:四边形BFDE是菱形;

②直接写出∠EBF的度数.

2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究,如图2GI分别在BFBE边上,且BGBI,连接GDHGD的中点,连接FH,并延长FHED于点J,连接IJIHIFIG.试探究线段IHFH之间满足的关系,并说明理由;

3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究,如图3,矩形ABCD满足ABAD时,点E是对角线AC上一点,连接DE,作EFDE,垂足为点E,交AB于点F,连接DF,交AC于点G.请直接写出线段AGGEEC三者之间满足的数量关系.

【答案】(1)详见解析;②60°.(2)IHFH(3)EG2AG2+CE2

【解析】

1)①由DOE≌△BOF,推出EOOF,∵OBOD,推出四边形EBFD是平行四边形,再证明EBED即可.

②先证明∠ABD2ADB,推出∠ADB30°,延长即可解决问题.

2IHFH.只要证明IJF是等边三角形即可.

3)结论:EG2AG2+CE2.如图3中,将ADG绕点D逆时针旋转90°得到DCM,先证明DEG≌△DEM,再证明ECM是直角三角形即可解决问题.

1)①证明:如图1中,

∵四边形ABCD是矩形,

ADBCOBOD

∴∠EDO=∠FBO

DOEBOF中,

∴△DOE≌△BOF

EOOF,∵OBOD

∴四边形EBFD是平行四边形,

EFBDOBOD

EBED

∴四边形EBFD是菱形.

②∵BE平分∠ABD

∴∠ABE=∠EBD

EBED

∴∠EBD=∠EDB

∴∠ABD2ADB

∵∠ABD+ADB90°

∴∠ADB30°,∠ABD60°

∴∠ABE=∠EBO=∠OBF30°

∴∠EBF60°

2)结论:IHFH

理由:如图2中,延长BEM,使得EMEJ,连接MJ

∵四边形EBFD是菱形,∠B60°

EBBFEDDEBF

∴∠JDH=∠FGH

DHJGHF中,

∴△DHJ≌△GHF

DJFGJHHF

EJBGEMBI

BEIMBF

∵∠MEJ=∠B60°

∴△MEJ是等边三角形,

MJEMNI,∠M=∠B60°

BIFMJI中,

∴△BIF≌△MJI

IJIF,∠BFI=∠MIJ,∵HJHF

IHJF

∵∠BFI+BIF120°

∴∠MIJ+BIF120°

∴∠JIF60°

∴△JIF是等边三角形,

RtIHF中,∵∠IHF90°,∠IFH60°

∴∠FIH30°

IHFH

3)结论:EG2AG2+CE2

理由:如图3中,将ADG绕点D逆时针旋转90°得到DCM

∵∠FAD+DEF90°

AFED四点共圆,

∴∠EDF=∠DAE45°,∠ADC90°

∴∠ADF+EDC45°

∵∠ADF=∠CDM

∴∠CDM+CDE45°=∠EDG

DEMDEG中,

∴△DEG≌△DEM

GEEM

∵∠DCM=∠DAG=∠ACD45°AGCM

∴∠ECM90°

EC2+CM2EM2

EGEMAGCM

GE2AG2+CE2

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