Question

10．在半径为1的圆O中，弦AB=$\sqrt{2}$，弦AC=$\sqrt{3}$，求∠BAC的大小．

Answer 1

分析 先根据题意画出图形，分别作AC、AB的垂线，连接OA，再根据锐角三角函数的定义求出∠AOD及∠AOE的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．

解答 解：①如图1，两弦在圆心的异侧时，过O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OA，
∵AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
根据直角三角形中三角函数的值可知：sin∠AOD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠AOD=45°，
∵sin∠AOE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOE=60°，
∴∠OAD=90°-∠AOD=45°，∠OAC=90°-∠AOE=30°
∴∠BAC=∠OAD+∠OAC=45°+30°=75°；
②如图2，当两弦在圆心的同侧时同①可知∠AOD=45°，∠AOE=60°，
∴∠AOE=60°，
∴∠OAC=90°-∠AOE=90°-60°=30°，∠OAB=90°-∠AOD=90°-45°=45°．
∴∠BAC=∠OAB-∠OAC=45°-30°=15°，
即∠BAC=75°或15°．

点评 本题考查的是垂径定理及勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．