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    如图，点A是x轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连接AC、BC、CD，设点A的横坐标为t．

    （Ⅰ）线段AB与AC的数量关系是 ，位置关系是 ．

    （Ⅱ）当t=2时，求CF的长；

    （Ⅲ）当t为何值时，点C落在线段BD上？求出此时点C的坐标；

    （Ⅳ）设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

    （1）AB=2AC，AB⊥AC；（2）1;（3）

    【解析】

    试题分析：（Ⅰ）根据“线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C”推知AB与AC的关系；

    （Ⅱ）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF=OA=t，由此求出CF的值；

    （Ⅲ）由Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得AF的长度；若点C落在线段BD上，则有△DCF∽△DBO，根据相似比例式列方程求出t的值；

    （Ⅳ）有三种情况，需要分类讨论：当0＜t≤8时，如题图1所示；当t＞8时，如答图1所示；t=8时．

    试题解析：（Ⅰ）∵如图，将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，

    ∵AB=2AC，∠BAC=90°，

    ∴AB⊥AC．

    （2）由题意，易证Rt△ACF∽Rt△BAO，

    ∴．

    ∵AB=2AM=2AC，

    ∴CF=OA=t．

    当t=2时，CF=1；

    （Ⅲ）由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，

    ∴，

    ∴AF=OB=2，∴FD=AF=2，．

    ∵点C落在线段BD上，

    ∴△DCF∽△DBO，

    ∴，

    即，

    整理 得t2+4t-16=0

    解得 t=2-2或t=-2-2（不合题意，舍去）

    ∴当t=2-2时，点C落在线段BD上．

    此时，CF=t=-1，

    OF=t+2=2，

    ∴点C的坐标为（2，-1+）；

    （Ⅳ）①当0＜t≤8时，如题图1所示：

    S=BE•CE=（t+2）•（4-t）=-t2+t+4；

    ②当t＞8时，如答图1所示：CE=CF-EF=t-4

    S=BE•CE=（t+2）•（t-4）=t2-t-4；

    ③如答图2，当点C与点E重合时，CF=OB=4，可得t=OA=8，此时S=0．

    考点：相似形综合题．

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    （1）求AC、BC的长；

    （2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

    （3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；

    （4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由。

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