Question

【题目】已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．

（1）求证：AD=BD；

（2）求证：DF是⊙O的切线

（3）若⊙O直径为18，，求DE的长

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；

（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DF⊥AC，可证DF⊥OC，即可证得结论；

（3）连接CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，sinB=，求得CD=6，则AD=，在△ACD中，利用面积法即可求出DE的长．

证明：（1）连接CD

∵BC为⊙O的直径，

∴CD⊥AB．

∵AC=BC，

∴AD=BD．

（2）连接OD；

∵AD=BD，OB=OC，

∴OD是△BCA的中位线，

∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，

∴DF⊥OD．

∵OD为半径，

∴DF是⊙O的切线

（3）在Rt△BCD中，

即，∴CD=6

在Rt△ACD中,

根据直角三角形的面积可得：

．