Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是CD、BC的中点，AE与DF交于点P，连接CP，则CP＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由△ADE≌△DCF可导出四边形CEPF对角互补，而CE＝CF，于是将△CEP绕C点逆时针旋转90°至△CFG，可得△CPG是等腰直角三角形，从而PG＝PF+FG＝PF+PE＝CP，求出PE和PF的长度即可求出PC的长度．

解：如图，作CG⊥CP交DF的延长线于G．

则∠PCF+∠GCF＝∠PCG＝90°，

∵四边形ABCD是边长为2的正方形，

∴AD＝CD＝BC＝AB＝2，∠ADC＝∠DCB＝90°，

∵E、F分别为CD、BC中点，

∴DE＝CE＝CF＝BF＝1，

∴AE＝DF＝，

∴DP＝＝，

∴PE＝，PF＝，

在△ADE和△DCF中：

∴△ADE≌△DCF（SAS），

∴∠AED＝∠DFC，

∴∠CEP＝∠CFG，

∵∠ECP+∠PCF＝∠DCB＝90°，

∴∠ECP＝∠FCG，

在△ECP和△FCG中：

∴△ECP≌△FCG（ASA），

∴CP＝CG，EP＝FG，

∴△PCG为等腰直角三角形，

∴PG＝PF+FG＝PF+PE＝＝CP，

∴CP＝．

故答案为：．