材料阅读: 在小学.我们了解到正方形的每个角都是90°.每条边都相等,本学期.我们通过折纸得到定理:直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半,同时探讨得知.在直角三角形中.30°的角所对的直角边是斜边的一半． (1)如图1.在等边三角形△ABC内有一点P.且PA=2.PB=.PC=1．求∠BPC的度数和等边△ABC的边长．聪聪同学的思路是:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

材料阅读：

在小学，我们了解到正方形的每个角都是90°，每条边都相等；本学期，我们通过折纸得到定理：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半；同时探讨得知，在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．

（1）如图1，在等边三角形△ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC的度数和等边△ABC的边长．

聪聪同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．

连接PP′．根据聪聪同学的思路，可以证明△BPP′为等边三角形，又可以证明△ABP′≌△CBP，所以AP′=PC=1，根据勾股定理逆定理可证出△APP′为直角三角形，故此∠BPC=__________°；同时，可以说明∠BPA=90°，在Rt△APB中，利用勾股定理，可以求出等边△ABC的边AB=__________．

（2）请你参考聪聪同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据旋转得出AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等边△BPP′，推出PP′=，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；然后在Rt△APB中，利用勾股定理可求得AB的长；

（2）求出∠BEP=（180°﹣90°）=45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可求出AB．

【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=60°．

由旋转的性质可知：AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC．

∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，

∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°．

∴△BPP′是等边三角形．

∴PP′=，∠BP′P=60°．

∵AP′=1，AP=2，

∴AP′²+PP′²=AP²．

∴∠AP′P=90°．

∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°．

在Rt△AP′P中，sin∠APP′=，

∴∠APP′=30°．

∴∠BPA=∠BPP′+∠APP′=60°+30°=90°．

Rt△APB中，由勾股定理可知：AB===．

故答案为：150°；．

（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F．

由旋转的性质可知：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，

∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°．

∴∠BEP=（180°﹣90°）=45°．

由勾股定理得：EP==2．

∵AE=1，AP=，EP=2，

∴AE²+PE²=AP²．

∴∠AEP=90°．

∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°．

∵PE⊥PA，BF⊥AF，

∴∠EBF=∠BEP=45°．

∴∠FEB=∠FBE=45°．

∴FE=BF=1．

∴AF=2．

∴在Rt△ABF中，由勾股定理得AB=．

∴∠BPC=135°，正方形边长为．

∴∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是．

【点评】本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．

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