Question

勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a²+b²=c²

证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a

∵S_{四边形ADCB}=S_△ACD+S_△ABC=b²+ab．

又∵S_{四边形ADCB}=S_△ADB+S_△DCB=c²+a（b﹣a）

∴b²+ab=c²+a（b﹣a）

∴a²+b²=c²

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a²+b²=c²．

Answer 1

【考点】勾股定理的证明．

【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，表示出S_{五边形ACBED}，两者相等，整理即可得证．

【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，

∵S_{五边形ACBED}=S_△ACB+S_△ABE+S_△ADE=ab+b²+ab，

又∵S_{五边形ACBED}=S_△ACB+S_△ABD+S_△BDE=ab+c²+a（b﹣a），

∴ab+b²+ab=ab+c²+a（b﹣a），

∴a²+b²=c²．

【点评】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题的关键．