[题目](1)如图1.锐角△ABC中分别以AB.AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD.使AE＝AB.AD＝AC.∠BAE＝∠CAD.连接BD.CE.试猜想BD与CE的大小关系.并说明理由．(2)如图2.四边形ABCD中.AB＝7cm.BC＝3cm.∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°.求BD的长．甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】（问题）（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD、CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．

（迁移）（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝7cm，BC＝3cm，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长．

甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算。

（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求CD的长度．

【答案】（1）BD＝CE，理由见解析;（2）；（3）8

【解析】

（1）首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明；

（2）在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；

（3）先证明△ABC是等边三角形，再把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，则可得△CDE是等边三角形，再证△BDE是直角三角形，运用勾股定理求出DE的长，从而可得CD的长.

（1）BD＝CE．

理由是：∵∠BAE＝∠CAD，

∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，

在△EAC和△BAD中，

，

∴△EAC≌△BAD，

∴BD＝CE；

（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．

∵∠ACD＝∠ADC＝45°，

∴AC＝AD，∠CAD＝90°，

∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，

在△EAC和△BAD中，

，

∴△EAC≌△BAD，

∴BD＝CE．

∵AE＝AB＝7，

∴BE＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，

又∵∠ABC＝45°，

∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，

∴EC＝＝＝，

∴BD＝CE＝．

（3）如图，

∵AB＝BC，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，

则BE＝AD，△CDE是等边三角形，

∴DE＝CD，∠CED＝60°，

∵∠ADC＝30°，

∴∠BED＝30°+60°＝90°，

在RtBDE中，DE＝＝＝8，

∴CD＝DE＝8．

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