Question

【题目】如图所示：在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，2为半径作⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连接AM并延长交⊙M于点P，连接PC交x轴于点E．

（1）求点C，P的坐标；

（2）求弓形的面积；

（3）探求线段BE和OE存在何种数量关系，并证明你所得到的结论．

Answer 1

【答案】（1）P点坐标为（3，2），C（0，﹣）；（2）S弓形ACB=4π﹣；（3）BE=2OE，见解析

【解析】

试题分析：（1）连接PB．根据直径所对的圆周角是直角判定PB⊥OM；由已知条件OA=OB推知OM是三角形APB的中位线；最后根据三角形的中位线定理求得点P的坐标、由⊙M的半径长求得点C的坐标；

（2）连接BM，易求扇形AMB的面积和△AMB的面积，由S弓形ACB=S扇形AMB﹣S△AMB计算即可；

（3）首先证△AMC为等边三角形，再根据等边三角形的三个内角都是60°和直径所对的圆周角∠ACP=90°可求得∠OCE=30°，然后在直角三角形OCE中利用30°角所对的直角边是斜边的一半来证明BE=2OE．

解：（1）连接PB，

∵PA是圆M的直径，

∴∠PBA=90°，

∴AO=OB=3，

又∵MO⊥AB，

∴PB∥MO，

∴PB=2OM=2

∴P点坐标为（3，2），

在直角三角形ABP中，AB=6，PB=2，

根据勾股定理得：AP==4，

∴圆的半径MC=2，

又∵OM=，

∴OC=MC﹣OM=，

则C（0，﹣）；

（2）连接BM，

∵BP=2，AP=4，

∴sin∠PAB=，

∴∠PAB=30°，

∴OM=AM=，

∴S△AMB=ABOM=×6×=3，

∵AM=BM，

∴∠AMB=120°，

∴S扇形AMB==4π，

∴S弓形ACB=4π﹣；

（3）BE=20E，理由如下：

∵AM=MC=2，AO=3，OC=，

∴AM=MC=AC=2，

∴△AMC为等边三角形，

又∵AP为圆M的直径，

∴∠ACP=90°

∴∠OCE=30°，

∴OE=1，BE=2，

∴BE=2OE．