Question

【题目】已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．

（1）求抛物线F的解析式；

（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；

（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．

①判断△AA′B的形状，并说明理由；

②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x；（2）y2﹣y1=；（3）①△AA′B为等边三角形，理由见解析；②平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（2，）、（﹣ ）和（﹣，﹣2）

【解析】

（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；

（2）将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2-y1的值；

（3）根据m的值可得出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标．

①利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；

②根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点P，设点P的坐标为（x，y），分三种情况考虑：（i）当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（ii）当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（iii）当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．

（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣，0），

∴，解得：，

∴抛物线F的解析式为y=x2+x．

（2）将y=x+m代入y=x2+x，得：x2=m，

解得：x1=﹣，x2=，

∴y1=﹣+m，y2=+m，

∴y2﹣y1=（+m）﹣（﹣+m）=（m＞0）．

（3）∵m=，

∴点A的坐标为（﹣，），点B的坐标为（，2）．

∵点A′是点A关于原点O的对称点，

∴点A′的坐标为（，﹣）．

①△AA′B为等边三角形，理由如下：

∵A（﹣，），B（，2），A′（，﹣），

∴AA′=，AB=，A′B=，

∴AA′=AB=A′B，

∴△AA′B为等边三角形．

②∵△AA′B为等边三角形，

∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x，y）．

（i）当A′B为对角线时，有，

解得，

∴点P的坐标为（2，）；

（ii）当AB为对角线时，有，

解得：，

∴点P的坐标为（﹣，）；

（iii）当AA′为对角线时，有，

解得：，

∴点P的坐标为（﹣，﹣2）．

综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（2，）、（﹣ ）和（﹣，﹣2）．