【题目】已知抛物线F:y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O,且与x轴另一交点为(﹣,0).
(1)求抛物线F的解析式;
(2)如图1,直线l:y=x+m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限),求y2﹣y1的值(用含m的式子表示);
(3)在(2)中,若m=,设点A′是点A关于原点O的对称点,如图2.
①判断△AA′B的形状,并说明理由;
②平面内是否存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2+x;(2)y2﹣y1=
;(3)①△AA′B为等边三角形,理由见解析;②平面内存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形,点P的坐标为(2
,
)、(﹣
)和(﹣
,﹣2)
【解析】
(1)根据点的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式;
(2)将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中,可求出x1、x2的值,利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值,做差后即可得出y2-y1的值;
(3)根据m的值可得出点A、B的坐标,利用对称性求出点A′的坐标.
①利用两点间的距离公式(勾股定理)可求出AB、AA′、A′B的值,由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形;
②根据等边三角形的性质结合菱形的性质,可得出存在符合题意得点P,设点P的坐标为(x,y),分三种情况考虑:(i)当A′B为对角线时,根据菱形的性质(对角线互相平分)可求出点P的坐标;(ii)当AB为对角线时,根据菱形的性质(对角线互相平分)可求出点P的坐标;(iii)当AA′为对角线时,根据菱形的性质(对角线互相平分)可求出点P的坐标.综上即可得出结论.
(1)∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点(0,0)和(﹣,0),
∴,解得:
,
∴抛物线F的解析式为y=x2+x.
(2)将y=x+m代入y=x2+
x,得:x2=m,
解得:x1=﹣,x2=
,
∴y1=﹣+m,y2=
+m,
∴y2﹣y1=(+m)﹣(﹣
+m)=
(m>0).
(3)∵m=,
∴点A的坐标为(﹣,
),点B的坐标为(
,2).
∵点A′是点A关于原点O的对称点,
∴点A′的坐标为(,﹣
).
①△AA′B为等边三角形,理由如下:
∵A(﹣,
),B(
,2),A′(
,﹣
),
∴AA′=,AB=
,A′B=
,
∴AA′=AB=A′B,
∴△AA′B为等边三角形.
②∵△AA′B为等边三角形,
∴存在符合题意的点P,且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况,设点P的坐标为(x,y).
(i)当A′B为对角线时,有,
解得,
∴点P的坐标为(2,
);
(ii)当AB为对角线时,有,
解得:,
∴点P的坐标为(﹣,
);
(iii)当AA′为对角线时,有,
解得:,
∴点P的坐标为(﹣,﹣2).
综上所述:平面内存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形,点P的坐标为(2,
)、(﹣
)和(﹣
,﹣2).
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【题目】如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路线向点C运动;Q以2cm/s的速度,沿A→C的路线向点C运动.当P、Q到达终点C时,整个运动随之结束,设运动时间为t秒.
(1)在点P、Q运动过程中,请判断PQ与对角线AC的位置关系,并说明理由;
(2)若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD(或CD)于点N.
①当t为何值时,点P、M、N在一直线上?
②当点P、M、N不在一直线上时,是否存在这样的t,使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,BC为⊙O的直径,A为⊙O上的点,以BC、AB为边作ABCD,⊙O交AD于点E,连结BE,点P为过点B的⊙O的切线上一点,连结PE,且满足∠PEA=∠ABE.
(1)求证:PB=PE;
(2)若sin∠P=, 求
的值.
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【题目】一名在校大学生利用“互联网+”自主创业,销售一种产品,这种产品成本价10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件,市场调查发现,该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,
(1)求证:AC2=ABAD;
(2)求证:△AFD∽△CFE.
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【题目】某班为准备半期考表彰的奖品,计划从友谊超市购买笔记本和水笔共40件.在获知某网店有“双十一”促销活动后,决定从该网店购买这些奖品.已知笔记本和水笔在这两家商店的零售价分别如下表,且在友谊超市购买这些奖品需花费125元.
(1)班级购买的笔记本和水笔各多少件?
(2)求从网店购买这些奖品可节省多少元.
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【题目】如图所示,在△ABC 中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F.
(1)若∠ABC=40°,∠ACB=60°,求∠BOE+∠COF的度数;
(2)若△AEF的周长为8 cm,且BC=4 cm,求△ABC的周长.
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