Question

9．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，且与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）在以AB为直径的圆中，直线CE与⊙M相切于点E，直线CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用交点式设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），把（0，2）代入即可解决问题．
（2））存在．理由如下：由（1）可知抛物线的对称轴为x=4，因为A、B关于对称轴对称，连接BC交l于P，则AP=BP，所以AP+PC=BP+CP≥BC，所以当B、P、C共线时AP+CP最短．
（3）如图连接ME．由△COD≌△MED（AAS），推出OD=DE，DC=DM，设OD=x，则CD=DM=ON-OD=4-x，在Rt△COD中，由OD²+OC²=CD²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）由题意可以设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），
∵抛物线过点（0，2），
∴2=a（0-2）（0-6），
∴a=$\frac{1}{6}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{6}$（x-2）（x-6），即y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{4}{3}$x+2．

（2）存在．理由如下：
由（1）可知抛物线的对称轴为x=4，
∵A、B关于对称轴对称，连接BC交l于P，则AP=BP，
∴AP+PC=BP+CP≥BC，
当B、P、C共线时AP+CP最短，
∵B（6，0），C（0，2），
∴OB=6，OC=2，
∴BC=2$\sqrt{10}$，
∴AP+PC的最小值为2$\sqrt{10}$．

（3）如图连接ME．

∵CE是⊙M的切线，
∴ME⊥CE，∠CEM=90°，
由题意OC=ME=2，∠ODC=∠MDE，
∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD=DE，DC=DM，
设OD=x，则CD=DM=ON-OD=4-x，
在Rt△COD中，∵OD²+OC²=CD²，
∴x²+2²=（4-x）²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，0），
设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0），
把C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，0）代入得到$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{\frac{3}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线CE的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+2．

点评 本题考查二次函数综合题、圆的有关知识、最短问题等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称解决最短问题，学会用方程的思想思考问题，所以中考压轴题．