Question

14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$经过点A（0，2）和B（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）已知点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，点D在抛物线上，且点D的横坐标为4，求点C与点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）记为图象G，如果图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A点和B点坐标代入$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y=$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$，则抛物线的对称轴为直线x=1，利用点C与点A关于直线x=1对称得到C点坐标为（2，2）；然后利用二次函数图象上点的坐标特征求D点坐标；
（3）画出抛物线，如图，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，再利用平移的性质得到图象G向下平移1个单位时，点A在直线BC上；图象G向下平移3个单位时，点D在直线BC上，由于图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，所以1＜t≤3．

解答 解：（1）把A（0，2）和B（1，$\frac{3}{2}$）代入$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{1}{2}+b+c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x+2；
（2）∵y=$\frac{1}{2}$x²-x+2=$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，
∴C点坐标为（2，2）；
当x=4时，y=$\frac{1}{2}$x²-x+2=8-4+2=6，
∴D点坐标为（4，6）；
（3）如图，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（1，$\frac{3}{2}$），C（2，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=\frac{3}{2}}\\{2m+n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x+1=1，
∴点图象G向下平移1个单位时，点A在直线BC上，
当x=4时，y=$\frac{1}{2}$x+1=3，
∴点图象G向下平移3个单位时，点D在直线BC上，
∴当1＜t≤3时，图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．