【题目】如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(-2,-1),B(0,7)两点.
(1)求该抛物线的解析式及对称轴;
(2)当x为何值时,y>0?
(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l,与抛物线交于C,D两点(点C在对称轴的左侧),过点C,D作x轴的垂线,垂足分别为F,E.当矩形CDEF为正方形时,求C点的坐标.
【答案】(1) y=-(x-1)2+8;对称轴为:直线x=1;(2) 当1-2<x<1+2时,y>0;(3) C点坐标为:(-1,4).
【解析】
(1)根据待定系数法求二次函数解析式,再用配方法或公式法求出对称轴即可;
(2)求出二次函数与x轴交点坐标即可,再利用函数图象得出x取值范围;
(3)利用正方形的性质得出横纵坐标之间的关系即可得出答案.
(1)∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(-2,-1),B(0,7)两点.
∴,解得:,
∴y=-x2+2x+7,
=-(x2-2x)+7,
=-[(x2-2x+1)-1]+7,
=-(x-1)2+8,
∴对称轴为:直线x=1.
(2)当y=0,
0=-(x-1)2+8,
∴x-1=±2,
x1=1+2,x2=1-2,
∴抛物线与x轴交点坐标为:(1-2,0),(1+2,0),
∴当1-2<x<1+2时,y>0;
(3)当矩形CDEF为正方形时,
假设C点坐标为(x,-x2+2x+7),
∴D点坐标为(-x2+2x+7+x,-x2+2x+7),
即:(-x2+3x+7,-x2+2x+7),
∵对称轴为:直线x=1,D到对称轴距离等于C到对称轴距离相等,
∴-x2+3x+7-1=-x+1,
解得:x1=-1,x2=5(不合题意舍去),
x=-1时,-x2+2x+7=4,
∴C点坐标为:(-1,4).
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+x﹣4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,作直线AC.
(1)如图1,点P是直线AC下方抛物线上的一点,连结PA,PC.过点P作PD⊥AC于点D,交y轴于点M,E是射线PD上的一点,Q是x轴上的一点,F是y轴上的一点,过F作该抛物线对称轴的垂线段,垂足为点G,连结EF,GQ.当△PAC面积最大时,求点P的坐标,并求EF+GQ+(FG+QA)的最小值;
(2)如图2,在(1)的条件下,将△CDM绕点D旋转得到△C'DM',在旋转过程中,当点C'或点M′落在y轴上(不与点M、C重合)时,将△C'DM'沿射线PD平移得到△C″D'M″,在平移过程中,平面内是否存在点N,使得四边形OM″NC″是菱形?若存在,请直接写出所有符合条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】《九章算术》是我国古代著名数学著作,书中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用数学语言可表述为:“如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥DC于E,ED=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.”则CD=_______寸.
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【题目】如图,已知正方形ABCD,点E是边AB的中点,点O是线段AE上的一个动点(不与A、E重合),以O为圆心,OB为半径的圆与边AD相交于点M,过点M作⊙O的切线交DC于点N,连接OM、ON、BM、BN.记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3,则下列结论不一定成立的是( )
A.S1>S2+S3 B.△AOM∽△DMN C.∠MBN=45° D.MN=AM+CN
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【题目】如图矩形COAB,点B(4,3),点H位于边BC上.
直线l1:2x﹣y+3=0
直线l2:2x﹣y﹣3=0
(1)若点N为l2上第一象限的点,△AHN为等腰Rt△,求N坐标.
(2)若把l1、l2上的点构成的图形称为图形V.已知矩形AJHI的顶点J在图形V上,I为平面系上的点,且J(x,y),求x的范围(写出过程).
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 随机抛掷一枚均匀的硬币,落地后反面一定朝上。
B. 从1,2,3,4,5中随机取一个数,取得奇数的可能性较大。
C. 某彩票中奖率为,说明买100张彩票,有36张中奖。
D. 打开电视,中央一套正在播放新闻联播。
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【题目】学了一元二次方程的根与系数的关系后,小亮兴奋地说:“若设一元二次方程的两个根为,由根与系数的关系有,,由此就能快速求出,,···的值了. 比如设是方程的两个根,则,,得.
小亮的说法对吗?简要说明理由;
写一个你最喜欢的元二次方程,并求出两根的平方和;
已知是关于的方程的一个根,求方程的另一个根与的值.
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【题目】周末,小明匀速步行去省图书馆看书,当出发15min后距家1800m时,爸爸驾车匀速从家沿相同路线追赶小明,追上小明后,二人驾车继续按原速前行到达图书馆,小明留在图书馆看书,爸爸驾车继续按原速去单位办事设小明与爸爸之间的路程y(m)与小明出发的时间x(min)之间的函数图象如图所示.
(1)小明步行速度是 m/min,爸爸驾车速度是 m/min;
(2)当爸爸从省图书馆到单位时,求y与x之间的函数关系式;
(3)当爸爸与省图书馆之间的路程为2160m时,直接写出爸爸驾车行驶的时间.
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