Question

【题目】如图矩形COAB，点B（4，3），点H位于边BC上．

直线l1：2x﹣y+3＝0

直线l2：2x﹣y﹣3＝0

（1）若点N为l2上第一象限的点，△AHN为等腰Rt△，求N坐标．

（2）若把l1、l2上的点构成的图形称为图形V．已知矩形AJHI的顶点J在图形V上，I为平面系上的点，且J（x，y），求x的范围（写出过程）．

Answer 1

【答案】(1)点N的坐标为（，）；（2，1）；（，）；(2)x的取值范围为﹣≤x＜0或0＜x≤或≤x≤2或≤x≤．

【解析】

（1）分点A、H、N分别为直角时的三种情况，根据等腰直角三角形的性质，设点N的坐标利用全等三角形的关系求出x的值即可得到答案；

（2）当点J在l2上，分两种情况：点H与点B重合时与点C重合时，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半及勾股定理求出点J的坐标，即可得到取值范围，同样的方法求出点J在l1上时x的取值范围即可得到答案.

（1）①若点A为直角顶点时，点N在第一象限，连结AC，

如图1，∠AHB＞∠ACB＞45°，

∴△AHN不可能是等腰直角三角形，

∴点N不存在；

②若点H为直角顶点时，点N在第一象限，如图1，

过点N作MN⊥CB，交CB的延长线于点M，

则Rt△ABH≌Rt△HMN，

∴AB＝HM＝4，MN＝HB，

设N（x，2x﹣3），则MN＝x﹣4，

∴2x﹣3＝4+3﹣（x﹣4），

x＝，

∴N（，）；

③若点N为直角顶点时，点N在第一象限，如图2，

设N1（x，2x﹣3），

过点N1作N1G1⊥OA，交BC于点P1，

则Rt△AN1G1≌Rt△HM1P1，

∴AG1＝N1P1＝3﹣（2x﹣3），

∴x+3﹣（2x﹣3）＝4，

x＝2，

∴N1（2，1）；

设N2（x，2x﹣3），

同理可得x+2x﹣3﹣3＝4，

∴x＝，

∴N2（，）；

综上所述，点N的坐标为（，）；（2，1）；（，）；

（2）当点J在直线l2上时，

∵点J的横坐标为x，

∴J（x，2x﹣3），

当点H和点B重合时，H（4，3），

∴AH的中点G坐标为（2，3），

∵四边形AJHI是矩形，

∴∠AJB＝90°，

∴JG＝AH=2，

∴（x﹣2）2+（2x﹣3﹣3）2＝4，

∴x＝（点J在AB上方的横坐标）或x＝2（点J在AB下方的横坐标），

当点H和点C重合时，H（4，0），AH的中点G'坐标为（2，），

同理：JG'＝AH=，

∴（x﹣2）2+（2x﹣3﹣）2＝，

∴x＝（和点J在AB上方构成的四边形是矩形的横坐标）或x＝（和点J在AB下方构成的四边形是矩形的横坐标）

∴≤x≤或≤x≤2．

当点J在l1上时，同理：﹣≤x＜0或0＜x≤．

综上所述，x的取值范围为﹣≤x＜0或0＜x≤或≤x≤2或≤x≤．