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【题目】如图,在直角三角形中,.

1)如图1,点在线段上,在线段的延长线上取一点,使得.过点,交延长线于点,过点,交于点,交于点.判断有怎样的数量关系,写出你的结论,并加以证明;

2)如图2,点在线段的延长线上,在线段的延长线上取一点,使得.过点于点,过点,交延长线于点,交延长线于点.

①依题意补全图形;

②若,求证:.

【答案】1)∠ENB=NAC,理由见解析;(2)①见解析;②见解析;

【解析】

1)依据∠NFD=ADB=90°,∠ACB=90°,即可得到∠FAC+AMC=FNC+AMC=90°,进而得出∠MAC=ENB,再根据∠NAC=MAC,即可得到∠ENB=NAC

2)①过点BBDAM于点D,过点NNEBD,交BA延长线于点E,交MA延长线于点F;②依据∠ENB=NAC,∠NEA=135°-ENB,∠EAN=135°-NAC,即可得到∠NEA=NAE

(1)ENB与∠NAC之间的数量关系:∠ENB=NAC

理由:∵BDAM

∴∠ADB=90°

NEBD

∴∠NFD=ADB=90°

∵∠ACB=90°

∴∠FAC+AMC=FNC+AMC=90°

∴∠MAC=ENB

又∵∠NAC=MAC

∴∠ENB=NAC

(2)①补全图形如图:

②同理可证∠ENB=NAC

∵在RtABC,ACB=90°,CAB=45°

∴∠ABC=45°

∴∠ABM=135°

∴∠NEA=ABMNEB=135°ENB

∵∠EAN=EABNACCAB=135°NAC

∴∠NEA=NAE.

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