Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于F，交BC的延长线于点E．
（1）求CF的长；
（2）在（1）的基础上，你能求出△CEF的面积吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由相似三角形的判定定理得出△ACB∽△EDB，由相似三角形的对应边成比例求出CE的长，再由锐角三角函数的定义得出CF的长即可；
（2）根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5，
∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，
∴∠BDE=90°，∠B=∠B，
∴△ACB∽△EDB，
∴BC：BD=AB：（BC+CE），又BC=3，AC=4，AB=5，
∴3：2.5=5：（3+CE），解得CE=

7

6

．
∵∠E=∠A，
∴

BC

AC

=

CF

CE

，即

3

4

=

CF

7 6

，解得CF=

7

8

；

（2）∵CE=

7

6

，CF=

7

8

，
∴S_△CEF=

1

2

CE•CF=

1

2

×

7

6

×

7

8

=

49

96

．

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线垂直且平分其所在线段是解答此题的关键．