Question

进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x元 （x为正整数），每星期的利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由．
（3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50-40-x，销售量=500+100x，而售价50-x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x的取值范围；
（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润；
（3）设当y=5000时x有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000．

解答：解：（1）依题意，得y=（50-40-x）•（500+100x）=-100x²+500x+5000，
∵

50-x≥42 500+100x≥800

，
∴3≤x≤8；

（2）y=-100x²+500x+5000=-100（x-

5

2

）+5625，
∵5600＜5625，
∴5600不是最大利润．

（3）当y=5000时，y=-100x²+500x+5000=5000，
解得x₁=0，x₂=5，
故当0≤x≤5时，y≥5000，
即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．

点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．