Question

9．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，EB=2，求圆心O到BE的距离．

Answer 1

分析 （1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；
（2）连接AE，过点O作OH⊥BE，设CE=x，易证OH是三角形ABE的中位线，所以求出AE的长，则OH的长可求出，即圆心O到BE的距离可求出．

解答 （1）证明：如图1所示，连接BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°．
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB=90°，
即∠DAB+∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ABD．
∵BA=BC，∠ADB=90°，
∴∠ABC=2∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF；
（2）连接AE，过点O作OH⊥BE，如图2所示
∵AB是⊙O的直径，
∴AE⊥BE，
∵AO=BO，
∴BH=EH，
∴OH是△AEB的中位线，
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
设CE=x，则BC=BE+CE=x+2，
∴AB=x+2，
∴AE²=AC²-CE²=$\frac{10}{4}$-x²，
∴AB²=AE²+BE²=$\frac{10}{4}$-x²+4，
即（x+2）²=$\frac{10}{4}$-x²+4，
解得：x=0.5或-2.5（舍），
∴AE=$\frac{9}{4}$，
∴OH=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{9}{8}$．

点评 本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题的关键．