【题目】阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作已知角的角平分线．已知：如图，∠BAC．求作：∠BAC的角平分线AP．
小欣的作法如下：
（1）如图，在平面内任取一点O；
（2）以点O为圆心，AO为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；
（3）连接DE，过点O作射线OP垂直于线段DE，交⊙O于点P；
（4）过点P作射线AP．
所以射线AP为所求
根据小欣设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OP
DE
∴ 
=______（________________________）（填推理的依据），
∴∠BAP=______ （________________________）（填推理的依据）．
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【题目】某商店计划购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中A型电动自行车不少于20辆，A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，售价分别为2800元、3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．
（1）求出y与m之间的函数关系式；
（2）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？
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【题目】如图，一次函数y=mx+b的图象与反比例函数y=
的图象交于A（3，1），B（﹣
，n）两点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求n的值及该一次函数的解析式．
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【题目】阅读材料：
如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式： 
，当且仅当a＝b时取等号，我们把
叫做正数a，b的算术平均数，把
叫做正数a，b的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）他们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
实例剖析：
已知x＞0，求式子
的最小值．
解：令a＝x，b＝
，则由，得
当且仅当
时，方程两边同时乘x，得到
，解得x＝2，式子有最小值，最小值为4．
学以致用：
根据上面的阅读材料回答下列问题：
（1）已知x＞0，则当x＝__________时，式子
取到最小值，最小值为：_______________
（2）用篱笆围一个面积为100m的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
（3）已知x＞0，则x取何值时，式子
取到最小值，最小值是多少？
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【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+3过点A（-1，0），B（3，0），点M，N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；
（3）若∠DMN=90°，MD=MN，直接写出点M的坐标．
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【题目】已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC．
(1)如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到△CBE．
①求证：△PBE是等边三角形；
②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度数；
(2)连结BD交AC于点O，点E在OD上且DE=3，AD=4，点G是△ADE内的一个动点如图②，连结AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．
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【题目】定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M是曲线y=
（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．
（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（
，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；
（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；
（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
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【题目】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG．
（1）求证：AF⊥DE；
（2）求证：CG=CD．
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【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与
轴交于点A，与
轴交于点B，与直线OC：
交于点C．
（1）若直线AB解析式为
，
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）如图2，作
的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E， OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连结AQ与PQ，试探索AQ＋PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．
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