Question

15．如图，已知，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）S_△BCQ：S_△ABC=1：3时，求S_△BPQ：S_△ABC的值；
（3）在现有条件下，哪些边对应成比例就能使△APQ与△CQB相似？并写出对应成比例的边．

Answer 1

分析 （1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
（2）由三角形的面积关系得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是（1）的结果，那么此时PQ∥BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积-三角形APQ的面积-三角形BQC的面积来得出三角形BPQ和三角形ABC的面积比．
（3）分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况．

解答 解：（1）当PQ∥BC时，AP：AB=AQ：AC，
∵AP=4x，AQ=30-3x，
∴$\frac{4x}{20}$=$\frac{30-2x}{30}$，
解得：x=$\frac{10}{3}$；
即当x=$\frac{10}{3}$，PQ∥BC；
（2）∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3
∴CQ：AC=1：3，
∴CQ=10c，
∴时间用了$\frac{10}{3}$秒，
∴AP=$\frac{40}{3}$cm，
∵由（1）知，此时PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，相似比为$\frac{2}{3}$，
∴S_△APQ：S_△ABC=4：9，
∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9，即S_{四边形PQCB}=，$\frac{5}{9}$S_△ABC，
又∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3，即S_△BCQ=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
∴S_△BPQ=S_{四边形PQCB}-S_△BCQ═$\frac{5}{9}$S_△ABC-$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{2}{9}$S_△ABC，
∴S_△BPQ：S_△ABC=2：9=$\frac{2}{9}$；
（3）∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
当AP：CQ=AQ：BC，△APQ∽△CQB；
当AQ：CQ=AP：BC，△APQ∽△CBQ；
∴对应成比例的边为$\frac{AP}{CQ}=\frac{AQ}{BC}$或$\frac{AQ}{CQ}=\frac{AP}{BC}$．

点评 本题是相似形综合题目，主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理；根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．