【题目】已知点 C为线段 AB上一点,分别以 AC、BC为边在线段 AB同侧作△ACD和△BCE,且 CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线 AE与 BD交于点 F
(1)如图 1,若∠ACD=60°,则∠AFD=
(2)如图 2,若∠ACD=α,则∠AFB= (用含α的式子表示),并说明理由。
(3) 将图 1 中的△ACD绕点 C顺时针旋转如图 3,连接 AE、AB、BD,∠ABD=80°,求∠EAB的度数.
【答案】(1)60°;(2)180°-α,理由见解析;(3)140°
【解析】
(1)求出∠ACE=∠DCB,证出△ACE≌△DCB,根据全等性质得出∠EAC=∠BDC,再根据三角形内角和定理求出即可;(2)证出△ACE≌△DCB,根据全等性质得出∠EAC=∠BDC,再根据三角形内角和定理求出∠AFD =α,再由补角性质求出∠AFB的度数;(3)由四边形内角和定理得出∠CAB+∠CDB=220°,再证出△ACE≌△DCB,根据全等三角形的性质得出∠CAE=∠CDB,再由周角性质求解.
解:(1)∠AFD =60°,理由如下:
如图1,设CD与AE交于点O,
∵CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,
∴∠ACE=∠DCB,
∴△ACE≌△DCB,
∴∠EAC=∠BDC,
∵∠DOF=∠AOC, ∠DOF+∠BDC+∠AFD=∠AOC+∠EAC+∠ACD,
∴∠AFD=∠ACD=60°,
即∠AFD =60°;
(2)∠AFB=180°-α,理由如下:
如图2,设CD与AE交于点O,
∵CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE=α,
∴∠ACE=∠DCB,
∴△ACE≌△DCB,
∴∠EAC=∠BDC,
∵∠DOF=∠AOC, ∠DOF+∠BDC+∠AFD=∠AOC+∠EAC+∠ACD,
∴∠AFD=∠ACD=α,
即∠AFD =α;
∴∠AFB=180°-α
(3)∵△ACD是等边三角形,
∴∠ACD=60°,
∵∠ABD=80°,
∴∠CAB+∠CDB=360°-60°-80°=220°,
∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACE=∠BCD,
∵CE=BC,AC=CD,
∴△ACE≌△DCB,
∴∠CAE=∠CDB,
∴∠CAB+∠CAE=220°,
∴∠EAB=140°.
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【题目】如图,AB是以O为圆心的半圆的直径,半径CO⊥AO,点M是上的动点,且不与点A、C、B重合,直线AM交直线OC于点D,连结OM与CM.
(1)若半圆的半径为10.
①当∠AOM=60°时,求DM的长;
②当AM=12时,求DM的长.
(2)探究:在点M运动的过程中,∠DMC的大小是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知在ΔABC中,AB=AC,周长为24,AC边上的中线BD把ΔABC分成周长为9和15的两个部分,则ΔABC各边的长分别为( )
A.10、10、4B.6、6、12C.5、9、10D.10、10、4或6、6、12
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【题目】某商厦今年一月份销售额为万元,二月份由于种种原因,经营不善,销售额下降
,以后加强改进管理,经减员增效,大大激发了全体员工的积极性,月销售额大幅度上升,到四月份销售额猛增到
万元,求三、四月份平均每月增长的百分率是多少?
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【题目】为增强公民的节约意识,合理利用天然气费源,某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整,实行阶梯式气价,调能后的收费价格如表所示:
每月用气量 | 单价(元/m3) |
不超出75m3的部分 | 2 |
超出75 m3不超过125 m3的部分 | a |
超出125 m2的部分 | a+0.5 |
(1)若某户3月份用气量为60 m3,则应交费多少元?
(2)调价后每月支付燃气费用y(元)与每月用气量x(m3)的函数关系如图所示,求a的值及线段AB对应的一次函数的表达式;
(3)求射线BC对应的一次函数的表达式.
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【题目】下图反映了初三(1)班、(2)班的体育成绩。
(1)不用计算,根据条形统计图,_______班学生的体育成绩好一些。
(2)从图中观察出:三(1)班学生体育成绩等级的众数是_______;三(2)班学生体育成绩等级的众数是_______.
(3)如果依次将不及格、及格、中、良好、优秀记为55、65、75、85、95分,请你观察计算一下初三(1),(2)班的平均成绩各是多少?
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【题目】小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是( )
A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
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【题目】如图,将Rt△ABO放在平面直角坐标系中,点A、B分别在y轴、x轴上,∠BAO=30°,BC是∠ABO的角平分线,交y轴于点C(0,﹣2),CD⊥AB,垂足为D
(1)求BC的长度.
(2)点P(0,n)是线段AO上的任意一点(点P不与A、C、O重合),以BP为边,在BD的下方画出∠BPE=60°,PE交CD的延长线于点E,在备用图中画出图形,并求CE的长(用含n的式子表示).
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