[题目]小明与同学们在数学动手实践操作活动中.将锐角为的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合.正方形ABCD固定不动.然后将三角板绕着点A旋转.的两边分别与正方形的边BC.DC或其延长线相交于点E.F.连结EF．在三角板旋转过程中.当的两边分别与正方形的边CB.DC相交时.如图所示.请直接写出线段BE.DF.EF满足的数量� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，的两边分别与正方形的边BC、DC或其延长线相交于点E、F，连结EF．

（探究发现）

在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系：______．

（拓展思考）

在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图所示，则线段BE、DF、EF又将满足怎样的数量关系：______，并证明你的结论；

（创新应用）

若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．

【答案】（1）；（2），见解析；（3）或.

【解析】

延长FD至G，使，连接AG，先证≌，再证≌即可；

在DC上截取，连接AH，先证≌，再证≌△EAF即可；

分两种情形分别求解即可解决问题．

解：结论：．

理由：延长FD至G，使，连接AG，如图，

是正方形，

，，

≌，

，，

，

≌，

，

即：．

故答案为：．

结论：．

理由：在DC上截取，连接AH，如图，

，，

≌，

，，

，

≌，

，

．

故答案为：．

当MA经过BC的中点E时，由（1）（2）可知：设，则，．

在中，，

，

．

当NA经过BC的中点G时，由（1）（2）可知：设，则，，

，，

由勾股定理得到：，

，

．

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