Question

在如图所示的平面直角坐标系中，直线OA的解析式为y=

3

x，点A在第一象限，OA=2，点B在线段OA上，且AB的长是方程x²-3

2

x+4=0的一个根．
（1）求点A的坐标与线段AB的长；
（2）在x轴的正半轴上找出一点P，使A、B、P为顶点的三角形面积为

3 2

2

，则点P的坐标是多少？
（3）在y轴上是否存在一点M，使以A、B、M为顶点的三角形是以∠BAM为顶角的等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题,解一元二次方程-公式法,等腰三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）过点A作AC⊥x轴于点C，如图1，根据勾股定理就可求出点A的坐标，然后运用公式法解一元二次方程就可求出AB的长；
（2）过点P作PH⊥OA于点H，如图2，由△ABP的面积可求出PH的长，易证△ACO∽△PHO，然后根据相似三角形的性质可求出OP长，就可得到点P的坐标；
（3）由△ABM是以∠BAM为顶角的等腰三角形可得AM=AB=

2

．过点A作AG⊥y轴于点G，则有AG=1，OG=

3

．以点A为圆心，AB为半径作圆，交y轴于点M、M′，如图3，运用勾股定理可求出GM、GM′，就可求出点M的坐标．

解答：解：（1）过点A作AC⊥x轴于点C，如图1．
设点A的坐标为（m，n），
∵点A在直线y=

3

x上，
∴n=

3

m．
∵点A在第一象限，
∴OC=m，AC=n=

3

m，m＞0．
∵OA=2，∠ACO=90°，
∴m²+（

3

m）²=2²，
∴m²=1．
∵m＞0，∴m=1，
∴点A的坐标为（1，

3

）．
解方程x²-3

2

x+4=0得：
x₁=2

2

，x₂=

2

．
∵AB的长是方程x²-3

2

x+4=0的一个根，
∴AB=2

2

或

2

．
∵点B在线段OA上，OA=2，∴AB＜2，
∴AB的长为

2

．

（2）过点P作PH⊥OA于点H，如图2．
∵S_△ABP=

1

2

AB•PH=

3 2

2

，AB=

2

，
∴PH=3．
∵∠AOC=∠POH，∠ACO=∠PHO=90°，
∴△ACO∽△PHO，
∴

AO

OP

=

AC

PH

，
∴

2

OP

=

3

3

，
∴OP=2

3

．
∵点P在x轴的正半轴上，
∴点P的坐标为（2

3

，0）．

（3）∵△ABM是以∠BAM为顶角的等腰三角形，
∴AM=AB=

2

．
过点A作AG⊥y轴于点G，则有AG=1，OG=

3

．
以点A为圆心，AB为半径作圆，交y轴于点M、M′，如图3．
在Rt△AGM中，GM=

AM2-AG2

=

2-1

=1，
同理GM′=1，
∴OM=

3

-1，OM′=

3

+1，
∴点M的坐标为（0，

3

-1）或（0，

3

+1）．

点评：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角形的面积等知识，运用面积法和相似三角形的性质是解决第（2）小题的关键，画出满足条件的点M是解决第（3）小题的关键．