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【题目】在⊙O中,AB为⊙O的直径,AC是弦,
(1)在图1中,P为直径BA延长线上的一点,当CP与⊙O相切时,求PO的长;

(2)如图2,一动点M从A点出发,在⊙O上按逆时针方向运动一周,当 时,求半径OM所扫过的扇形的面积.

【答案】
(1)解:∵CP与⊙O相切,OC是半径.

∴CP⊥OC,

又∵∠OAC=∠AOC=60°,

∴∠P=90°-∠AOC=30°,

∴在Rt△POC中,CO= PO=4,

则PO=2CO=8


(2)解:如图,

①作点C关于直径AB的对称点M1,连接AM1,OM1

易得S△M1AO=S△CAO,∠AOM1=60°∴当点M运动到M1时,S△MAO=S△CAO

此时点M经过的弧长为

∴半径OM所扫过的扇形的面积=

②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2,连接AM2,OM2,易得S△M2AO=S△CAO

∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°

∴当点M运动到M2时,S△MAO=S△CAO,此时点M经过的弧长为

∴半径OM所扫过的扇形的面积= × ×4= π;

③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3,连接AM3,OM3,易得S△M3AO=S△CAO

∴∠BOM3=60°,

= ×240或 = ×2=

∴当点M运动到M3时,S△MAO=S△CAO,此时点M经过的弧长为

∴半径OM所扫过的扇形的面积= × ×4=

④当点M运动到C时,M与C重合,S△MAO=S△CAO

此时点M经过的弧长为 ×300°或 π+ =

∴半径OM所扫过的扇形的面积= × ×4=


【解析】(1)根据CP与⊙O相切,得出CP⊥OC,根据题意易证△OAC是等边三角形,可求出∠P=30°,再根据直角三角形中,30°的直角边等于斜边的一半,求出OP的长。
(2)如图,当S△MAO=S△CAO时,动点M的位置有四种.①作点C关于直径AB的对称点M1,连接AM1,OM1,先证S△MAO=S△CAO,再求出点M经过的弧长,即可求出半径OM所扫过的扇形的面积;②过点M1作M1M2∥AB交 O于点M2,连接AM2,OM2,③过点C作CM3∥AB交 O于点M3,连接AM3,OM3;④当点M运动到C时,M与C重合,求得每种情况的OM转过的度数,再根据弧长公式求得点M经过的弧长,然后求出半径OM所扫过的扇形的面积。
【考点精析】解答此题的关键在于理解含30度角的直角三角形的相关知识,掌握在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,以及对勾股定理的概念的理解,了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2

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