Question

1．已知：关于x的方程mx²-（3m+1）x+2m+2=0（m＞1）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＞x₂），若y是关于m的函数，且y=mx₂-2x₁，求这个函数的解析式；
（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围是b＜-5（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）要证明无论m取何值方程必有两个不相等的实数根，只要证明△≥0即可，而，△=（3m+1）²-4m（2m+2）=（m-1）²．由m＞1，可得到△＞0；
（2）利用求根公式可得$x=\frac{{3m+1±\sqrt{{{（{m-1}）}^2}}}}{2m}=\frac{{3m+1±（{m-1}）}}{2m}$，因为m＞1，x₁＞x₂．所以${x_1}=2，{x_2}=1+\frac{1}{m}$．然后代入y=mx₂-2x₁，即可得到函数的解析式即可；
（3）先求出对折后的函数的解析式，进而求得与函数y=2m+b的交点坐标，根据题意列出不等式组，解不等式组即可求得．

解答 （1）证明：由题意得，△=（3m+1）²-4m（2m+2）=（m-1）²．
∵m＞1，
∴△=（m-1）²＞0．
∴方程有两个不等实根．  
（2）由题意得，$x=\frac{{3m+1±\sqrt{{{（{m-1}）}^2}}}}{2m}=\frac{{3m+1±（{m-1}）}}{2m}$．
∵m＞1，x₁＞x₂，
∴${x_1}=2，{x_2}=1+\frac{1}{m}$．
∴$y=m（{1+\frac{1}{m}}）-4=m-3$．
（3）根据题意新的函数为：y=$\left\{\begin{array}{l}{m-3，（m＞2）}\\{-m+1，（m＞2）}\end{array}\right.$
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2m+b}\\{y=-m+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1-b}{3}}\\{y=\frac{2+b}{3}}\end{array}\right.$，
函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-b}{3}＞2}\\{\frac{2+b}{3}＜-1}\end{array}\right.$，
解得b＜-5．
故答案为b＜-5．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了解一元一次方程和解不等式组．