Question

10．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．
（1）求∠EDG的度数．
（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．
①求证：BF∥DE；
②若正方形边长为6，求线段AG的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；
（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；
②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；

解答 （1）解：如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，
∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，
在Rt△DGA和Rt△DGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=DG}\\{DA=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），
∴∠3=∠4，
∴∠EDG=∠3+∠2=$\frac{1}{2}$∠ADF+$\frac{1}{2}$∠FDC，
=$\frac{1}{2}$（∠ADF+∠FDC），
=$\frac{1}{2}$×90°，
=45°；
（2）①证明：如图2所示：
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，
∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，
∴∠5=∠6，
∵∠FEC=∠5+∠6，
∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，
∴2∠5=2∠DEC，
即∠5=∠DEC，
∴BF∥DE；
②解：设AG=x，则GF=x，BG=6-x，
∵正方形边长为6，E为BC的中点，
∴CE=EF=BE=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴GE=EF+GF=3+x，
在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6-x）²+3²=（3+x）²，
解得：x=2，
即线段AG的长为2．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．