Question

11．如图：两张宽度都为1cm的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为$\frac{1}{sinα}$．

Answer 1

分析 首先过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，证明△ABE≌△ADF，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．

解答 解：如图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵AD∥CB，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵纸条宽度都为1cm，
∴AE=AF=1cm，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ADF=α}\\{∠AEB=∠AFD=90°}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC=AB，
∵$\frac{AE}{AB}$=sinα，
∴BC=AB=$\frac{AE}{sinα}$=$\frac{1}{sinα}$，
∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=$\frac{1}{sinα}$×1=$\frac{1}{sinα}$．
故答案为$\frac{1}{sinα}$．

点评 此题主要考查了菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD是菱形，利用三角函数求出BC的长．