Question

1．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，动点P从点A出发沿A→B→C运动，动点Q从点B出发沿B→C→A运动．如果P、Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．设出发时间为x秒（0≤x≤8），记△PBQ的面积y₁的函数图象为T．若直线y₂=x+b与T只有一个交点，则b的取值范围为b=-$\frac{9\sqrt{2}}{2}$或4$\sqrt{2}$-8＜b＜0或b=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 分0≤x≤4和4＜x≤8两种情况，利用三角形的面积公式找出y₁关于x函数关系式，依此画出图象T，再逐一分析直线y₂=x+b与T相切或过（0，0）、（8，4$\sqrt{2}$）时b的值，结合图形即可得出结论．

解答 解：当0≤x≤4时，y₁=$\frac{1}{2}$PB•BQ=$\frac{1}{2}$（4-x）x=-$\frac{1}{2}$x²+2x；
当4＜x≤8时，过点Q作QD⊥BC与点D，如图1所示，
∵在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，
∴∠ACB=45°，
∴QD=CQ•sin∠ACB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-4），
∴y₁=$\frac{1}{2}$BP•QD=$\frac{1}{2}$（x-4）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-4）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-4）²．
画出函数图象T，如图2所示．
当直线y₂=x+b与y₁=-$\frac{1}{2}$x²+2x（0≤x≤4）相切时，将y₂=x+b代入y₁=-$\frac{1}{2}$x²+2x中，
整理得：-$\frac{1}{2}$x²+x-b=0，
∵△=1²-4×（-$\frac{1}{2}$）×（-b）=0，
∴b=$\frac{1}{2}$；
当直线y₂=x+b过点（0，0）时，有0=b；
当直线y₂=x+b过点（8，4$\sqrt{2}$）时，有4$\sqrt{2}$=8+b，
解得：b=4$\sqrt{2}$-8；
当直线y₂=x+b与y₁=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-4）²（4＜x≤8）相切时，将y₂=x+b代入y₁=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-4）²中，
整理得：$\sqrt{2}$x²-（8$\sqrt{2}$+4）x+16-4b=0，
∵△=$[-（8\sqrt{2}+4）]^{2}$-4×$\sqrt{2}$×（16-4b）=0，
∴b=-$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．
综上所述：当直线y₂=x+b与T只有一个交点，b的取值范围为b=-$\frac{9\sqrt{2}}{2}$或4$\sqrt{2}$-8＜b＜0或b=$\frac{1}{2}$．
故答案为：b=-$\frac{9\sqrt{2}}{2}$或4$\sqrt{2}$-8＜b＜0或b=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了动点问题的函数图象、三角形的面积、根的判别式以及一次函数图象上点的坐标特征，依照题意画出图象T，利用数形结合解决问题是解题的关键．