Question

如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．

（1）求直线BD和抛物线的解析式．

（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．

（3）在抛物线上是否存在点P，使S_△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）直线BD的解析式为：y=-x+3．抛物线的解析式为：y=x²-4x+3．（2）点N坐标为：（0，0），（-3，0）或（0，-3）．点P的坐标为（4，3）或（-1，8）．

【解析】

∴，

解得k=-1，b=3，

∴直线BD的解析式为：y=-x+3．

设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），

∵点B（0，3）在抛物线上，

∴3=a×（-1）×（-3），

解得：a=1，

∴抛物线的解析式为：y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．

如答图1所示：

（Ⅰ）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，

∴N₁（0，0）；

（3）假设存在点P，使S_△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．

（Ⅰ）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：

（Ⅱ）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：

过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=-n，BE=3-n．

S_△PBD=S_梯形PEOD+S_△BOD-S_△PBE=（3+m）•（-n）+×3×3-（3-n）•m=6，

化简得：m+n=-1 ②，

∵P（m，n）在抛物线上，

∴n=m²-4m+3，

代入②式整理得：m²-3m+4=0，△=-7＜0，此方程无解．

故此时点P不存在．

综上所述，在抛物线上存在点P，使S_△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（-1，8）．

考点：二次函数综合题．