Question

15．菱形ABCD中，∠BAD是锐角，AC，BD相交于点O，E是BD的延长线上一动点（不与点D重合），连接EC并延长和AB的延长线交于点F，连接AE．
（1）比较∠F和∠ABD的大小，并说明理由；
（2）当△BFC有一个内角是直角时，△BFC与△EFA是否相似，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形外角的性质即可得出结论；
（2）推出这个直角为∠BCF，然后证明△△ABE≌△CBE，得出∠FCB=∠FAE=90°，即可证明结论．

解答 解：（1）∠ABD＞∠F；理由如下：
∵∠ABD为△BFE的一个外角，
∴∠ABD＞∠F；
（2）△BFC∽△EFA；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，BA=BC，
∴∠BAD=∠FBC，∠BAD+∠ABC=180°
又∵∠BAD为锐角，
∴∠FBC为锐角，∠ABC为钝角，
∴∠ABD为锐角，
由（1）得：∠F也为锐角，
又∵△BFC有一个角是直角，
∴∠BCF为直角，
在△ABE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}&{\;}\\{∠ABE=∠CBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE=90°，
∴∠FCB=∠FAE=90°，
∴△BFC∽△EFA．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质以及全等三角形的判定与性质；特别是（2）中，证明三角形全等得出角相等是解决问题的关键．