Question

7．如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，以O为圆心，OD为半径作⊙O，若AC=5，AB=6．
（1）若O为CH的中点，⊙O与OH相交于点E，连接AE、BE，求△ABE的面积；
（2）如图2，若⊙O过点H，且连接DH，求tan∠AHD的值．

Answer 1

分析 （1）设⊙O的半径为r，如图1，根据等腰三角形的性质得AH=$\frac{1}{2}$AB=3，再根据勾股定理计算出CH=4，接着证明Rt△CDO∽Rt△CHA，利用相似比得到$\frac{r}{3}$=$\frac{2}{5}$，解得r=$\frac{6}{5}$，则EH=OH-OE=$\frac{4}{5}$，然后根据三角形面积公式计算△ABE的面积；
（2）连结DH，如图2，先证明⊙O与AB相切，根据切线长定理得到AD=AH，则可判断OA垂直平分DH，所以∠AHD+∠HAO=90°，加上∠AOH+∠HAO=90°，所以∠AHD=∠AOH，接着证明Rt△CDO∽Rt△CHA，利用相似比得$\frac{r}{3}$=$\frac{4-r}{5}$，解得r=$\frac{3}{2}$，则OH=$\frac{3}{2}$，在Rt△AOH中，利用正切的定义得tan∠AOH=$\frac{AH}{OH}$=2，于是有tan∠AHD=2．

解答 解：（1）设⊙O的半径为r，如图1，
∵CA=CB，CH为高，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=3，
在Rt△ACH中，∵AC=5，AH=3，
∴CH=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=4，
∵O为CH的中点，
∴OC=CH=$\frac{1}{2}$CH=2，
∵OD⊥CA，
∴OD=OE=r，
∵∠DCO=∠HCA
∴Rt△CDO∽Rt△CHA，
∴$\frac{OD}{AH}$=$\frac{OC}{AC}$，即$\frac{r}{3}$=$\frac{2}{5}$，解得r=$\frac{6}{5}$，
∴EH=OH-OE=2-$\frac{6}{5}$=$\frac{4}{5}$，
∴△ABE的面积=$\frac{1}{2}$×AB×EH=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{4}{5}$=$\frac{12}{5}$；
（2）连结OA，如图2，
∵⊙O过点H，OH⊥AH，
∴⊙O与AB相切，
∴AD=AH，
而OD=OH，
∴OA垂直平分DH，
∴∠AHD+∠HAO=90°，
而∠AOH+∠HAO=90°，
∴∠AHD=∠AOH，
∵∠DCO=∠HCA，
∴Rt△CDO∽Rt△CHA，
∴$\frac{OD}{AH}$=$\frac{OC}{AC}$，即$\frac{r}{3}$=$\frac{4-r}{5}$，解得r=$\frac{3}{2}$，
∴OH=$\frac{3}{2}$，
在Rt△AOH中，tan∠AOH=$\frac{AH}{OH}$=$\frac{3}{\frac{3}{2}}$=2，
∴tan∠AHD=2．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．