Question

17．已知y=x²+3x+c过（m，0），（n，0），且m³+3m²+（c-2）m-2n-c=8．抛物线与双曲线y=$\frac{k}{x}$的交点为（1，d）．求抛物线和双曲线的解析式．

Answer 1

分析 点（m，0），（n，0）代入y=x²+3x+c后，得出m²+3m+c=0①，n²+3n+c=0②，进而得出m（m+3）=-c，m-n）（m+n+3）=0，因为m≠n，得出m+n+3=0，即m+n=-3，把m³+3m²+（c-2）m-2n-c=8变形为m²（m+3）+cm-2（m+n）-c=8，代入即可求得c的值，从而求得抛物线的解析式，把（1，d）代入求得d的值，即可求得k的值，从而求得双曲线的解析式．

解答 解：∵y=x²+3x+c过（m，0），（n，0），
∴m²+3m+c=0①，n²+3n+c=0②，
由①得m（m+3）=-c，
①-②得m²-n²+3m-3n=0，即（m-n）（m+n+3）=0，
∵m≠n，
∴m+n+3=0，
∴m+n=-3，
∵m³+3m²+（c-2）m-2n-c=8．
∴m²（m+3）+cm-2（m+n）-c=8，
∴-cm+cm-2×（-3）-c=8，解得c=-2，
∴抛物线的解析式为y=x²+3x-2；
把x=1代入得，y=1+3-2=2，
∴抛物线与双曲线y=$\frac{k}{x}$的交点为（1，2）．
∴k=2，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{2}{x}$．

点评 本题考查了待定系数法求解析式，根据已知得出m（m+3）=-c，m+n=-3是解题的关键．