Question

12．如图，在△ABC中，BC=5，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE，有DE=3且DE∥BC，现有将△ABC沿BC平移一段距离得到△A′B′C′，A′B′与AC交于点F，并测得∠A′FE=131°，D，E的对应点分别是D′，E′，3S_{四边形B′CED′}=S_{四边形BC′E′D}，则下列说法不正确的是（　　）

• A． ∠A=49°
• B． 四边形CC′E′E是平行四边形
• C． B′C=DE
• D． S_△ABC=5S_△D′FE

Answer 1

分析 根据平移的性质得到AC∥A′C′，∠A=∠A′，则利用平行线的性质可计算出∠A′=49°，则∠A=49°；加+x）•h，解得x=2，B′C=3，则B′C=DE；设点F与DE的距离为h′，点A到BC的距离为h₁，根据平行线分线段成比例定理，由D′E∥B′C，$\frac{h′}{h′+h}$=$\frac{D′E}{B′C}$=$\frac{1}{7}$，则h=6h′，由DE∥BC得到$\frac{{h}_{1}-h}{{h}_{1}}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{3}{5}$，则h=$\frac{2}{5}$h₁，所以h′=$\frac{1}{15}$h₁，然后根据三角形面积公式得到$\frac{{S}_{△FDE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}DE•h′}{\frac{1}{2}BC•{h}_{1}}$=$\frac{1}{25}$．

解答 解：∵△ABC沿BC平移一段距离得到△A′B′C′，
∴AC∥A′C′，∠A=∠A′，
∴∠A′+∠A′FE=180°，
∴∠A′=180°-131°=49°，
∴∠A=49°，所以A选项的说法正确；
∵DE∥BC，
∴四边形CC′E′E是平行四边形，所以B选项的说法正确；
设BB′=x，DE与BC的距离为h，则DD′=x，B′C=5-x，BC′=5+x，DE′=3+x，D′E=3-x，
∵3S_{四边形B′CED′}=S_{四边形BC′E′D}，
∴3•$\frac{1}{2}$（3-x+5-x）•h=$\frac{1}{2}$（3+x+5+x）•h，解得x=2，
∴B′C=5-2=3，
∴B′C=DE，所以C选项的说法正确；
设点F与DE的距离为h′，点A到BC的距离为h₁，
∵D′E∥B′C，
∴$\frac{h′}{h′+h}$=$\frac{D′E}{B′C}$=$\frac{3-\frac{8}{3}}{\frac{7}{3}}$=$\frac{1}{7}$，
∴h=6h′，
∵DE∥BC，
∴$\frac{{h}_{1}-h}{{h}_{1}}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
∴h=$\frac{2}{5}$h₁，
∴$\frac{2}{5}$h₁=6h′，即h′=$\frac{1}{15}$h₁，
∴$\frac{{S}_{△FDE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}DE•h′}{\frac{1}{2}BC•{h}_{1}}$=$\frac{3•\frac{1}{15}{h}_{1}}{5•{h}_{1}}$=$\frac{1}{25}$，所以D选项的说法错误．
故选D．

点评 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行线分线段成比例定理．