Question

10．如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y=$\frac{1}{8}$x²+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求点B、D的坐标，并求出该二次函数的解析式；
（2）P、Q分别是线段AD、CA上的动点，点P从A开始向D运动，同时点Q从C开始向A运动，它们运动的速度都是每秒1个单位，求：
①当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

Answer 1

分析 （1）首先得出B，D点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）①分别利用当PQ⊥AC时，当QP⊥AD时，结合勾股定理求出t的值即可；
②过点Q作QH⊥AD，垂足为H．由于S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$AP•AQsin∠PAQ，S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•OA，所以S_{四边形PDCQ}=S_△ACD-S_△APQ求出最值即可．

解答 解：（1）由y=-$\frac{3}{4}$x+3，得A （0，3），C （4，0）．
由于B、C关于OA对称，所以B（-4，0），
BC=8．
因为AD∥BC，AD=BC，所以D（8，3）．
将B（-4，0）、D（8，3）分别代入y=$\frac{1}{8}$x²+bx+c，得$\left\{\begin{array}{l}{2-4b+c=0}\\{8+8b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{4}}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
所以该二次函数的解析式为：y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{4}$x-3；

（2）①设点P、Q运动的时间为t．
如图1，在△APQ中，AP=t，AQ=AC-CQ=5-t，cos∠PAQ=cos∠ACO=$\frac{4}{5}$．
当PQ⊥AC时，$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{4}{5}$．所以$\frac{5-t}{t}$=$\frac{4}{5}$．
解得：t=$\frac{25}{9}$；
如图2，当QP⊥AD时．这时$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{4}{5}$，所以$\frac{t}{5-t}$=$\frac{4}{5}$．解得：t=$\frac{20}{9}$．
即AP=$\frac{25}{9}$或AP=$\frac{20}{9}$时，△APQ是直角三角形．
②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．
由于S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$AP•AQsin∠PAQ=$\frac{1}{2}$t（5-t）×$\frac{3}{5}$=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t，
S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•OA=$\frac{1}{2}$×8×3=12，
所以S_{四边形PDCQ}=S_△ACD-S_△APQ=12-（-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t）=$\frac{3}{10}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{81}{8}$．
所以当t=$\frac{5}{2}$，即AP=$\frac{5}{2}$时，四边形PDCQ的最小值是$\frac{81}{8}$．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及直角三角形的性质以及二次函数最值求法等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．