如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=6.BC=8．动点P从点A开始沿折线AC-CB-BA运动.点P在AC.CB.BA边上运动的速度分别为每秒3.4.5个单位．直线l从与AC重合的位置开始.以每秒$\frac{4}{3}$个单位的速度沿CB方向移动.移动过程中保持l∥AC.且分别与CB.AB边交于E.F两点.点P与直线l同时出发.设运动的时间为t秒.当点P第� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿折线AC-CB-BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒$\frac{4}{3}$个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．
（1）当t=5秒时，点P走过的路径长为19；当t=3秒时，点P与点E重合；
（2）当点P在AC边上运动时，连结PE，并过点E作AB的垂线，垂足为H．若以C、P、E为顶点的三角形与△EFH相似，试求线段EH的值；
（3）当点P在折线AC-CB-BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点Q．在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值．

分析（1）由题意可知点P从A到C需要2秒，从C到B需要2秒，从而可求得t=5时，点P运动的路程，点P与点重合，则点P运动的距离-点E运动的距离=AC，从而可求得点t=3；
（2）由l∥AC可知∠A=∠EFH，故tan∠EFH=$\frac{4}{3}$，由相似三角形的性质可知$\frac{PC}{EC}=\frac{3}{4}$或$\frac{PC}{EC}=\frac{4}{3}$，从而求得t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{54}{43}$，然后由t的值可求得CE的长，从而可求得BE的长，最后在Rt△EHB中由EH=EB×$\frac{3}{5}$可求得EH的长；
（3）当点P在AC上时，连结PQ．由菱形的性质可知PQ垂直平分EF，从而得到EF=2CP，由题意可知PC=6-3t，在△EFB中，tan∠B=$\frac{3}{4}$，于是可求得EF=$\frac{3}{4}$BE=$\frac{3}{4}×（8-\frac{4}{3}t）$，可求得t=$\frac{6}{5}$＜2，符合题意；当点P在CB上运动时，点P、Q、E在一条直线上，点P、Q、E、F不能构成四边形；当点P在BA上运动时，由菱形的性质可知PE=PF，然后根据等角的余角相等可知PB=PE，故此可知BF=2BP，由题意可知PB=5（t-4）在Rt△EFB中，FB=$\frac{5}{4}EB$=$\frac{5}{4}$（8-$\frac{4}{3}t$），故此可解得t=$\frac{30}{7}$．

解答解：（1）∵AC=6，点P在AC上运动的速度为每秒3个单位，
∴6÷3=2秒．
∵BC=8，点P在CB上运动的速度为每秒4个单位，
∴8÷4=2秒．
当t=5秒时，点P运动的路程=6+8+5=19．
当运动时间为t秒时，点P与点E重合．
根据题意得：4（t-2）=$\frac{4}{3}t$．
解得：t=3．
故答案为：19；3．
（2）∵l∥AC，
∴∠A=∠EFH．
∴tan∠EFH=tan∠A=$\frac{4}{3}$．
∵△CPE∽EFH，
∴$\frac{PC}{EC}=\frac{3}{4}$或$\frac{PC}{EC}=\frac{4}{3}$
∵CP=6-3t，CE=$\frac{4}{3}$t，
∴$\frac{6-3t}{\frac{4}{3}t}$=$\frac{3}{4}$或$\frac{6-3t}{\frac{4}{3}t}$=$\frac{4}{3}$．
解得：t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{54}{43}$．
∵当t=$\frac{3}{2}$时，CE=$\frac{4}{3}t$=$\frac{4}{3}×\frac{3}{2}$=2．
∴BE=BC-EC=8-2=6．
在Rt△EHB中，EH=EB×$\frac{3}{5}$=6×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$．
∴EH=$\frac{18}{5}$．
∵当t=$\frac{54}{43}$时，EC=$\frac{4}{3}t$=$\frac{4}{3}×\frac{54}{43}$=$\frac{72}{43}$，
∴EB=8-$\frac{72}{43}$=$\frac{272}{43}$．
在Rt△EHB中，EH=EB×$\frac{3}{5}$=$\frac{72}{43}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{816}{215}$．
∴EH=$\frac{816}{215}$．
（3）如图1所示：当点P在AC上时，连结PQ．

∵四边形PEQF为菱形，
∴PQ垂直平分EF．
∴∠EOP=90°．
∵l∥AC，∠C=90°，
∴∠CEO=90°
∵∠C=∠CEO=∠EOP=90°，
∴四边形CEQP为矩形．
∴PC=EO．
∴EF=2CP．
∵CE=$\frac{4}{3}t$，
∴EB=8-$\frac{4}{3}t$．
∵在△EFB中，tan∠B=$\frac{3}{4}$，
∴EF=$\frac{3}{4}$BE=$\frac{3}{4}×（8-\frac{4}{3}t）$．
∵AP=3t，AC=6，
∴PC=6-3t．
∴$\frac{3}{4}$（8-$\frac{4}{3}$t）=2（6-3t）．
解得t=$\frac{6}{5}$＜2，符合题意．
当点 P在CB上运动时，点P、Q、E在一条直线上，点P、Q、E、F不能构成四边形．
如图2所示：当点 P在BA上运动时．

∵四边形PEQF为菱形，
∴PE=PF．
∴∠PFE=∠PEF．
∵∠EFP+∠B=90°，∠FEP+∠PEB=90°，
∴∠PEB=∠PBE．
∴PB=PE．
∴BF=2BP．
∵CE=$\frac{4}{3}t$，BC=8，
∴BE=8-$\frac{4}{3}t$．
在Rt△EFB中，FB=$\frac{5}{4}EB$=$\frac{5}{4}$（8-$\frac{4}{3}t$）．
由题意可知：PB=5（t-4）．
∴$\frac{5}{4}$（8-$\frac{4}{3}$t）=2×5（t-4），
解得t=$\frac{30}{7}$．
综上所述，当t=$\frac{6}{5}$秒或t=$\frac{30}{7}$秒时，四边形PEQF为菱形．

点评本题主要考查的是一次函数的综合应用、相似三角形的性质、轴对称图形的性质、菱形的性质、锐角三角函数的定义，依据点P运动的速度以及特殊锐角三角函数值表示相关线段的长度是解题的关键．

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