Question

【题目】如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，CE⊥AB 于点 E，BD 交CE 于点 F．

(1)求证：CF＝BF；

(2)若 CD＝6，AC＝8，求⊙O 的半径及 CE 的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) ⊙O 的半径为 5, CE＝.

【解析】

（1）要证明 CF＝BF，可以证明∠1＝∠2；AB 是⊙O 的直径，则∠ACB＝90°，又知 CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠2＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠1＝∠A，则∠1＝∠2；

（2）在直角三角形 ACB 中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB 的长，即可求得圆的半径；再根据三角形相似可以求得 CE 的长．

(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．

∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，

∴∠ECB＝90°﹣∠AB C，∴∠ECB＝∠A．（2 分）又∵C 是的中点，

∴＝ ，

∴∠DBC＝∠A，

∴∠ECB＝∠DBC，

∴CF＝BF；

（2）解：∵＝ ，

∴BC＝CD＝6，

∵∠ACB＝90°，

∴AB＝＝10，

∴⊙O 的半径为 5，

∵S△ABC＝ ABCE＝ BCAC，

∴CE＝ ＝＝．