Question

16．下列说法：
①若关于x的方程x²-（a-3）x-3a-b²=0有两个相等的实数根，则关于的方程x²+ax+b=0的两根分别是x₁=0，x₂=3；
②若b=2a+c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，且a＜b，则a，b，m，n的大小关系是m＜a＜b＜n，
其中正确的有（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①根据根的判别式求得a=-3，b=0，把a=-3，b=0代入x²+ax+b=0得：x²-3x=0，解得x₁=0，x₂=3；故①正确；
②根据根的判别式求得4a²+c²＞0，于是得到一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；故②正确；
③方程变形为（x-a）（x-b）=1，利用二次函数与异次函数图象解决问题：二次函数y=（x-a）（x-b）与x轴两个交点坐标为（a，0），（b，0），且直线y=1与抛物线y=（x-a）（x-b）的交点的横坐标分别为m与n，于是可得到则a、b、m、n的大小关系．

解答 解：①∵关于x的方程x²-（a-3）x-3a-b²=0有两个相等的实数根，
∴△=[-（a-3）]²-4（-3a-b²）=（a+3）²+4b²=0，
∴a=-3，b=0，
把a=-3，b=0代入x²+ax+b=0得：x²-3x=0，
解得：x₁=0，x₂=3；故①正确；
②∵△=b²-4ac，b=2a+c，
∴△=（2a+c）²-4ac=4a²+c²，
∵a≠0，
∴4a²+c²＞0，
∴一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；故②正确；
③如图，∵1-（x-a）（x-b）=0，
∴（x-a）（x-b）=1，
∵二次函数y=（x-a）（x-b）与x轴两个交点坐标为（a，0），（b，0），
则直线y=1与抛物线y=（x-a）（x-b）的交点的横坐标分别为m与n，
∴m＜a＜b＜n，故③正确．
故选D．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了图象法解决数学问题．