Question

【题目】如图，抛物线y＝x2+mx+m（m＞0）的顶点为A，交y轴于点C．

（1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）；

（2）若直线y＝﹣x＋n经过点A，与抛物线交于另一点B，证明：AB的长是定值；

（3）连接AC，延长AC交x轴于点D，作直线AD关于x轴对称的直线，与抛物线分别交于E、F两点．若∠ECF＝90°，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）-1+

【解析】

（1）直接写出顶点式即可得出结论；
（2）先将点A坐标代入直线AB的解析式中，得出n=2m+m2，进而得出直线AB的解析式为y=-x+2m+m2，再联立抛物线解析式得出方程组，转化成方程，利用根与系数的关系即可得出结论；
（3）先求出点A，C关于x轴的对称点，进而得出直线EF解析式，再联立抛物线解析式，过点C作MN∥x轴，过点E作EM⊥MN于点M，过点F作FN⊥MN，设点E，F坐标，联系抛物线和EF表达式，利用根与系数的关系列出方程求解.

解：（1）抛物线，

顶点的坐标为；

（2）由（1）知，顶点的坐标为，

直线经过点，

，

，

直线的解析式为①，

设，，，，

抛物线②，

联立①②得，，

即：，

，，

即：的长是定值，其值为；

（3）抛物线与轴相交于，

，

点关于轴的对称点的坐标为，

由（1）知，顶点的坐标为，

点关于轴的对称点的坐标为，

直线是直线关于轴的对称点，

点，在直线上，

直线的解析式为③，

抛物线④，

设E（，），F（，），

过点C作MN∥x轴，过点E作EM⊥MN于点M，过点F作FN⊥MN，如图1，

∵∠ECF=90°，

∴∠ECM+∠FCN=90°，

∠FCN+∠CFN=90°，

∴∠ECM=∠CFN，

∵∠EMC=∠FNC=90°，

∴△EMC∽△CNF，

∴,

即，

化简得：，

联立③④得，，

，，

==，

，

∴，

∴=0

解得：m=或m=或m=0，

∵m>0

∴m=.