Question

【题目】“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？

我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个：图3中黑点个数是6×3＝18个；……；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是60、6n．

请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：

（1）第5个点阵中有　 　个圆圈；第n个点阵中有　 　个圆圈．

（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．

Answer 1

【答案】（1）61，3n2﹣3n+1；（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵

【解析】

(1)第2个图中2个小圆圈为一块,分为3块,余1,第3个图中3个小圆圈为一块,分为6块,余1；按此规律得：第5个图中5个小圆圈为一块,分为12块,余1，由此即可求得第n个点阵图中小圆圈的个数；

(2)代入271,列方程,方程有解则存在这样的点阵．

解：(1)如图所示：第1个点阵中有：1个,

第2个点阵中有：2×3 ×(2-1)+1＝7个,

第3个点阵中有：3×3 ×(3-1)+1＝19个,

第4个点阵中有：4×3 ×(4-1)+1＝37个,

第5个点阵中有：5×3 ×(5-1)+1＝61个,

…

第n个点阵中有：n×3(n﹣1)+1＝3n2﹣3n+1,

故答案为：61,3n2﹣3n+1；

(2)3n2﹣3n+1＝271,

n2﹣n﹣90＝0,

(n﹣10)(n+9)＝0,

n1＝10,n2＝﹣9(舍),

∴小圆圈的个数会等于271,它是第10个点阵．