【题目】已知:t1,t2是方程t2+2t﹣24=0的两个实数根,且t1<t2,抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(t1,0),B(0,t2).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是抛物线上一动点,且位于第三象限,四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形,求平行四边形OPAQ的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当平行四边形OPAQ的面积为24时,是否存在这样的点P,使OPAQ为正方形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)y=x2+x+4;(2)S=﹣4(x+)2+25(﹣6<x<﹣1);(3)不存在这样的点P,使四边形OPAQ为正方形,理由见解析
【解析】
(1)解方程t2+2t﹣24=0,可得A(-6,0),B(0,4),再利用待定系数法求二次函数的解析式;
(2)设点P(x,y),利用x,y表示四边形的边长求得面积S=﹣+25,利用面积是正数的性质求出x的取值范围是﹣6<x<﹣1;
(3)把S=24代入解析式S=﹣+25中求得y的值,从而得到点P的坐标,根据实际意义进行值的取舍,讨论可知不存在这样的点P,使四边形OPAQ为正方形.
解:(1)t2+2t﹣24=0,(t+6)(t﹣4)=0,t1=﹣6,t2=4
∵t1<t2,
∴A(﹣6,0),B(0,4)
∵抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点.
∴,
解得,
∴y=x2+x+4.
(2)∵点P(x,y)在抛物线上,位于第三象限,
∴y<0,即﹣y>0.
又∵S=2S△APO=2××|OA||y|=|OA||y|=6|y|,
∴S=﹣6y
=﹣6(x2+x+4)
=﹣4(x2+7x+6)
=﹣4(x+)2+25
令y=0时,x2+x+4=0,
解得x1=﹣6,x2=﹣1.
∵抛物线与x轴的交点坐标为(﹣6,0),(﹣1,0),
∴x的取值范围为﹣6<x<﹣1.
(3)当S=24时,得24=﹣4(x+)2+25,
解得:x1=﹣3,x2=﹣4
代入解析式得:y1=﹣4,y2=﹣4.
∴点P的坐标为(﹣3,﹣4),(﹣4,﹣4)
当点P为(﹣3,﹣4)时,满足PO=PA,此时,平行四边形OPAQ是菱形.
当点P为(﹣4,﹣4)时,不满足PO=PA,此时,平行四边形OPAQ不是菱形.
而要使平行四边形OPAQ为正方形,那么,一定有OA⊥PQ,AO=PQ,
此时,点P的坐标为(﹣3,﹣3),而(﹣3,﹣3)不在抛物线y=x2+x+4上,
故不存在这样的点P,使四边形OPAQ为正方形.
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【题目】如图,AB是⊙O的一条弦,点C是半径OA的中点,过点C作OA的垂线交AB于点E,且与BE的垂直平分线交于点D,连接BD.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,CE=1,试求BD的长.
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【题目】在△ABC中,∠BCA=90,AC=6,BC=8,D是AB的中点,将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD,连接BE,则线段BE的长等于( )
A.5B.C.D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求二次函数解析式;
(2)若点Q为抛物线上一点,且S△ABQ=S△ACQ,求点Q的坐标;
(3)若直线l:y=mx+n与抛物线有两个交点M,N(M在N的左边),P为抛物线上一动点(不与M,N重合).过P作PH平行于y轴交直线l于点H,若=5,求m的值.
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【题目】“分块计数法”:对有规律的图形进行计数时,有些题可以采用“分块计数”的方法.例如:图1有6个点,图2有12个点,图3有18个点,……,按此规律,求图10、图n有多少个点?
我们将每个图形分成完全相同的6块,每块黑点的个数相同(如图),这样图1中黑点个数是6×1=6个;图2中黑点个数是6×2=12个:图3中黑点个数是6×3=18个;……;所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是60、6n.
请你参考以上“分块计数法”,先将下面的点阵进行分块,再完成以下问题:
(1)第5个点阵中有 个圆圈;第n个点阵中有 个圆圈.
(2)小圆圈的个数会等于271吗?如果会,请求出是第几个点阵.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴、两点(在的左侧),且,,与轴交于,抛物线的顶点坐标为.
(1)求、两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)过点作直线轴,交轴于点,点是抛物线上、两点间的一个动点(点不与、两点重合),、与直线分别交于点、,当点运动时,是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】某班的同学想测量一教楼AB的高度.如图,大楼前有一段斜坡,已知的长为16米,它的坡度.在离点45米的处,测得一教楼顶端的仰角为,则一教楼的高度约( )米(结果精确到0.1米)(参考数据:,,,)
A. 44.1 B. 39.8 C. 36.1 D. 25.9
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线交 y轴于点为A,顶点为D,对称轴与x轴交于点H.
(1)求顶点D的坐标(用含m的代数式表示);
(2)当抛物线过点(1,-2),且不经过第一象限时,平移此抛物线到抛物线的位置,求平移的方向和距离;
(3)当抛物线顶点D在第二象限时,如果∠ADH=∠AHO,求m的值.
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