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【题目】已知:t1t2是方程t2+2t240的两个实数根,且t1t2,抛物线yx2+bx+c的图象经过点At10),B0t2).

1)求这个抛物线的解析式;

2)设点Pxy)是抛物线上一动点,且位于第三象限,四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形,求平行四边形OPAQ的面积Sx之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

3)在(2)的条件下,当平行四边形OPAQ的面积为24时,是否存在这样的点P,使OPAQ为正方形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1)yx2+x+4;(2S=﹣4x+2+25(﹣6x<﹣1);(3)不存在这样的点P,使四边形OPAQ为正方形,理由见解析

【解析】

(1)解方程t2+2t240,可得A(-6,0),B(0,4),再利用待定系数法求二次函数的解析式;

(2)设点P(x,y),利用x,y表示四边形的边长求得面积S=﹣+25,利用面积是正数的性质求出x的取值范围是﹣6<x<﹣1;

(3)把S=24代入解析式S=﹣+25中求得y的值,从而得到点P的坐标,根据实际意义进行值的取舍,讨论可知不存在这样的点P,使四边形OPAQ为正方形.

解:(1t2+2t240,(t+6)(t4)=0t1=﹣6t24

t1t2

A(﹣60),B04

∵抛物线yx2+bx+c经过AB两点.

解得

yx2+x+4

2)∵点Pxy)在抛物线上,位于第三象限,

y0,即﹣y0

又∵S2SAPO×|OA||y||OA||y|6|y|

S=﹣6y

=﹣6x2+x+4

=﹣4x2+7x+6

=﹣4x+2+25

y0时,x2+x+40

解得x1=﹣6x2=﹣1

∵抛物线与x轴的交点坐标为(﹣60),(﹣10),

x的取值范围为﹣6x<﹣1

3)当S24时,得24=﹣4x+2+25

解得:x1=﹣3x2=﹣4

代入解析式得:y1=﹣4y2=﹣4

∴点P的坐标为(﹣3,﹣4),(﹣4,﹣4

当点P为(﹣3,﹣4)时,满足POPA,此时,平行四边形OPAQ是菱形.

当点P为(﹣4,﹣4)时,不满足POPA,此时,平行四边形OPAQ不是菱形.

而要使平行四边形OPAQ为正方形,那么,一定有OAPQAOPQ

此时,点P的坐标为(﹣3,﹣3),而(﹣3,﹣3)不在抛物线yx2+x+4上,

故不存在这样的点P,使四边形OPAQ为正方形.

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