Question

17．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3．直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，且保持直线m∥AC．设直线m与矩形OABC的其中两条边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒），△OMN的面积为S，且S与t的函数图象如图2（实线部分）所示．

（1）图1中，点B的坐标是（4，3），矩形OABC的面积为12；图2中，a=4，b=6．
（2）求图2中的图象所对应的函数关系式．
（3）求t为何值时，直线m把矩形OABC的面积分成1：3两部分．

Answer 1

分析 （1）根据图象和矩形的面积公式进行解答；
（2）利用待定系数法和相似三角形的判定和性质得出0＜t≤4和4＜t＜8的解析式即可；
（3）由矩形OABC的面积为12被分成1：3两部分分0＜t≤4和4＜t＜8两种情况进行解答．

解答 解：（1）因为OA=4，OC=3，
所以可得点B的坐标为（4，3），
矩形的面积=4×3=12，
根据图象得出当a=4时，面积=$\frac{1}{2}×4×3=6$，即b=6，
故答案为：B（4，3），矩形OABC的面积=12，
a=4，b=6；
（2）当0＜t≤4时，如图1，

∵MN∥AC，
∴$\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OC}$，即$\frac{t}{4}=\frac{ON}{3}$，
解得：ON=$\frac{3t}{4}$，
∴S=$\frac{1}{2}OM•ON=\frac{1}{2}t•\frac{3}{4}t=\frac{3}{8}{t}^{2}$，
当4＜t＜8时，如图2，

∵OD=t，
∴AD=t-4，
由△DAM∽△AOC，得AM=$\frac{3}{4}（t-4）$，
∴BM=$6-\frac{3}{4}t$，
由△BMN∽△BAC，得BN=$\frac{4}{3}BM$=8-t，
∴CN=t-4，
∴S=S_矩形OABC-S_△OAM-S_△MBN-S_△NCO
=12-$\frac{3}{2}（t-4）-\frac{1}{2}（8-t）（6-\frac{3}{4}t）-\frac{3}{2}（t-4）=-\frac{3}{8}{t}^{2}+3t$，
（另解：S=S_△ODN-S_△ODM=$\frac{3}{2}t-\frac{t-\frac{3}{4}（t-4）}{2}=-\frac{3}{8}{t}^{2}+3t$ ）
（3）∵矩形OABC的面积为12被分成1：3两部分，
∴可得分成三角形和五边形的面积分别为3和9，
当0＜t≤4时，S_△AOC=3，
∴$\frac{3}{8}{t}^{2}=3$，
解得$t=2\sqrt{2}$，
当4＜t＜8时，S_△MBN=3，
∴$\frac{1}{2}（8-t）（6-\frac{3}{4}t）$=3，
解得${t}_{1}=8-2\sqrt{2}$，${t}_{2}=8+2\sqrt{2}＞8$（不合题意，舍去），
综上：当t=$2\sqrt{2}$或t=$8-2\sqrt{2}$时矩形OABC的面积被MN分成1：3两部分．

点评 此题考查相似三角形综合问题，关键是利用图象和相似三角形的判定和性质进行分析解答．