Question

【题目】阅读探索题：

（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，交射线ON，OM为C，B两点，在射线OP上任取一点A（O点除外），连接AB，AC，求证：△AOB≌△AOC.

（2）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

①如图2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系；

②如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①BC=AC+AD；②21.

【解析】试题分析：（1）根据以O为圆心任意长为半径作弧，交射线ON，OM为C，B两点，OP是∠MON的平分线，运用SAS判定△AOB≌△AOC即可；
（2）先截取CE=CA，连接DE，根据SAS判定△CAD≌△CED，得出AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，进而得出结论BC=AC+AD；
（3）先截取AE=AD，连接CE，作CH⊥AB，垂足为点H，根据△ADC≌△AEC，在Rt△ACH和Rt△CEH中，设EH=HB=x，利用CH为公共边，列出方程172-（9+x）2=102-x2，求得x的值即可得到AB的长．

试题解析：（1）如图1，以O为圆心任意长为半径作弧，交射线ON，OM为C，B两点，则OB=OC，

∵OP是∠MON的平分线，
∴∠AOB=∠AOC，
在△AOB和△AOC，
，
∴△AOB≌△AOC（SAS）；
（2）BC=AC+AD
如图2，截取CE=CA，连接DE，

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD与△ECD中，
，
∴△CAD≌△CED（SAS），
∴AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠B=∠EDB=30°，
∴DE=EB=AD，
∴BC=AC+AD；
（3）如图，截取AE=AD，连接CE，作CH⊥AB，垂足为点H，

同理△ADC≌△AEC，
∴AE=AD=9，CD=CE=10=CB，
∵CH⊥AB，CE=CB，
∴EH=HB，
设EH=HB=x，
在Rt△ACH和Rt△CEH中
172-（9+x）2=102-x2，
解得：x=6，
∴AB=21．