Question

7．如图，M为线段AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AE于点F，ME交BD于点G．
（1）写出图中的三对相似三角形；
（2）连接FG，当AM=MB时，求证：△MFG∽△BMG；
（3）在（2）条件下，若α=45°，AB=4$\sqrt{2}$，AF=3，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）由∠AMF=∠B+∠D，∠BGM=∠DME+∠D，∠DME=∠A=∠B=α，可求得∠AMF=∠BGM，即可证得△AMF∽△BGM，然后由∠B是公共角，∠D是公共角，证得△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD；
（2）由△AMF∽△BGM，根据相似三角形的对应边成比例，可得$\frac{FM}{GM}=\frac{AM}{BG}$，又由AM=BM，即可证得$\frac{FM}{GM}=\frac{BM}{BG}$，然后由∠DME=∠B，证得：△MFG∽△BMG；
（3）由α=45°，可得△ABC是等腰直角三角形，又由△AMF∽△BGM，可得$\frac{AM}{BG}=\frac{AF}{BM}$，即可求得BG的长，继而求得CF与CG的长，继而求得答案．

解答 （1）解：△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，
理由：∵∠AMF=∠B+∠D，∠BGM=∠DME+∠D，
又∵∠DME=∠A=∠B=α，
∴∠AMF=∠BGM，
∴△AMF∽△BGM，
∵∠D是公共角，∠DME=∠B，
∴△BMD∽△MGD，
∵∠E是公共角，∠DME=∠A，
∴△AME∽△MFE；

（2）证明：∵△AMF∽△BGM，
∴$\frac{FM}{GM}=\frac{AM}{BG}$，
∵AM=BM，
∴$\frac{FM}{GM}=\frac{BM}{BG}$，
即$\frac{FM}{BM}=\frac{GM}{BG}$，
∵∠DME=∠B，
∴△MFG∽△BMG；

（3）解：当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC，
则AM=BM=2$\sqrt{2}$，
∵△AMF∽△BGM，
∴$\frac{AM}{BG}=\frac{AF}{BM}$，
∴BG=$\frac{AM•BM}{AF}$=$\frac{2\sqrt{2}•2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{8}{3}$，AC=BC=4$\sqrt{2}$•cos45°=4，
∴CG=BC-BG=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，CF=AC-AF=4-3=1，
∴FG=$\sqrt{C{F}^{2}+C{G}^{2}}$=$\frac{5}{3}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．注意相似三角形的对应边成比例．