Question

20．市一中准备组织学生及学生家长到武汉大学参观体验，为了便于管理，所有人员到武汉必须乘坐在同一列动车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需2556元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需1530元；已知学生家长与教师的人数之比为2：1，安陆到武汉的动车票价格（动车学生票只有二等座可以打6折）如下表所示：

运行区间		票价
上车站	下车站	一等座	二等座
安陆	武汉	36（元）	30（元）

（1）参加参观体验的老师、家长与学生各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（x小于参加参观体验的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．
（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票的总费用至少是多少钱？最多是多少钱？

Answer 1

分析 （1）设参加参观体验的老师有m人、学生有n人，则家长有2m人，结合购买火车票的费用=单价×数量，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）由动车学生票只有二等座可以打6折，可以分两种情况0≤x＜50和50≤x＜71考虑，结合购买火车票的费用=单价×数量找出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式；
（3）根据x的范围，结合（2）结论中一次函数的单调性即可得出结论．

解答 解：设参加参观体验的老师有m人、学生有n人，则家长有2m人，根据已知得：
$\left\{\begin{array}{l}{36×（m+n+2m）=2556}\\{30×（m+2m）+30×0.6n=1530}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=7}\\{n=50}\end{array}\right.$．
2m=2×7=14．
答：参加参观体验的老师有7人，家长有14人，学生有50人．
（2）由（1）可知报名参观体验的总人数为7+14+50=71（人）．
二等车票只能购买x张，则一等车票购买了71-x张．
当0≤x＜50时，y=30×0.6x+36×（71-x）=-18x+2556；
当50≤x＜71时，y=30×0.6×50+30×（x-50）+36×（71-x）=-6x+1956．
故购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{-18x+2556（0≤x＜50）}\\{-6x+1956（50≤x＜71）}\end{array}\right.$．
（3）由（2）的函数关系式可知：
当x=0时，y最高，此时y=2556；
当x=70时，y最小，此时y=1536．
答：购买单程火车票的总费用至少是1536元，最多是2556元．

点评 本题考查了一次函数的性质以及解二元一次方程组，解题的关键：（1）列出关于m、n的二元一次方程组；（2）分两种情况0≤x＜50和50≤x＜71寻找关系式；（3）由一次函数的性质结合x的范围解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决形如该类题型时，牢牢把握住数量关系即可．