Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D，以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的判定证明AC∥OD，得到∠ODB=90°，证明结论；
（2）连接DE，根据等边三角形的性质证明DE∥AB，得到△EAD的面积=△EOD的面积，求出扇形EOD的面积即可．

解答 解：（1）直线BC与⊙O相切．
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AO=DO，
∴∠ODA=∠BAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，又∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴直线BC与⊙O相切；
（2）连接DE，
∵∠BAC=60°，OA=OE，
∴△AOE为等边三角形，
∵AC∥OD，
∴∠DOB=60°，
∴∠EOD=60°，又OE=OD，
∴△OED是等边三角形，
∴DE∥AB，
∴△EAD的面积=△EOD的面积，
∴阴影部分面积=扇形EOD的面积=$\frac{60×π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}π$．

点评 本题考查的是切线的判定、扇形面积的计算以及等边三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线、扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S_扇形=$\frac{n}{360}$πR²或S_扇形=$\frac{1}{2}$lR是解题的关键．